3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、出た目の合計が7になる場合の数を求める。

1. 問題の内容

3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、出た目の合計が7になる場合の数を求める。

2. 解き方の手順

A, B, Cの出目をそれぞれ$a, b, c$とする。

求めるのは、$a + b + c = 7$ を満たす整数の組$(a, b, c)$の数である。

ただし、$1 \le a \le 6$, $1 \le b \le 6$, $1 \le c \le 6$ である。

まず、$a' = a - 1$, $b' = b - 1$, $c' = c - 1$ とおくと、$a', b', c'$ は0以上の整数で、

$a' + b' + c' = (a - 1) + (b - 1) + (c - 1) = a + b + c - 3 = 7 - 3 = 4$

となる。

$a' + b' + c' = 4$ を満たす0以上の整数の組$(a', b', c')$ の総数は、重複組み合わせで ${}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{3+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ である。

ここで、$a, b, c$ はそれぞれ6以下である必要があるため、$a', b', c'$ はそれぞれ5以下である必要がある。

$a' \ge 5, b' \ge 5, c' \ge 5$ となる場合は、$a' + b' + c' = 4$ を満たさないため、考慮する必要はない。

したがって、条件を満たす場合の数は15通りである。

3. 最終的な答え

15通り