与えられた積分 $\int x^3 e^{x^4+3} dx$ を、置換積分を用いて解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^3 e^{x^4+3} dx$ を、置換積分を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u = x^4 + 3$ と置換します。

このとき、$\frac{du}{dx} = 4x^3$ となり、$du = 4x^3 dx$ となります。

したがって、$x^3 dx = \frac{1}{4} du$ となります。

与えられた積分は、以下のように書き換えられます。

$\int x^3 e^{x^4+3} dx = \int e^{x^4+3} x^3 dx = \int e^u \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du$

$\int e^u du = e^u + C$ (Cは積分定数) なので、

$\frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C$

最後に、$u = x^4 + 3$ を代入すると、

$\frac{1}{4} e^u + C = \frac{1}{4} e^{x^4+3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} e^{x^4+3} + C$ (Cは積分定数)