三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 1:2, AR:RB = 2:1の比に内分するとき、BP:PCを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 1:2, AR:RB = 2:1の比に内分するとき、BP:PCを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理を用いることで解くことができます。

チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cから対辺BC, CA, AB上に引かれた直線が一点Pで交わるための必要十分条件は、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

であるという定理です。

この問題の場合、AQ:QC = 1:2よりCQ:QA = 2:1, AR:RB = 2:1なので、

チェバの定理より、

$$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{2}{1} = 1$$

$$\frac{4}{1} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$$

$$\frac{BP}{PC} = \frac{1}{4}$$

3. 最終的な答え

BP:PC = 1:4