点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 定点$(-1, 0)$と定直線$x=1$から等距離にある点Pの軌跡を求めます。 (2) 2点$F(3, 0)$、$F'(-3, 0)$からの距離の和が10である点Pの軌跡を求めます。 (3) 2点$F(2, 0)$、$F'(-2, 0)$からの距離の差が2である点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 定点$(-1, 0)$と定直線$x=1$から等距離にある点Pの軌跡を求めます。

(2) 2点$F(3, 0)$、$F'(-3, 0)$からの距離の和が10である点Pの軌跡を求めます。

(3) 2点$F(2, 0)$、$F'(-2, 0)$からの距離の差が2である点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を$(x, y)$とします。点$(-1, 0)$と点$(x, y)$との距離は$\sqrt{(x+1)^2 + y^2}$です。直線$x=1$と点$(x, y)$との距離は$|x-1|$です。これらの距離が等しいので、

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = |x-1|$

両辺を2乗すると、

$(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 - 2x + 1$

$y^2 = -4x$

(2) 点Pの座標を$(x, y)$とします。2点$F(3, 0)$、$F'(-3, 0)$からの距離の和が10なので、

$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} + \sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 10$

$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 10 - \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x-3)^2 + y^2 = 100 - 20\sqrt{(x+3)^2 + y^2} + (x+3)^2 + y^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 100 - 20\sqrt{(x+3)^2 + y^2} + x^2 + 6x + 9 + y^2$

$-12x - 100 = -20\sqrt{(x+3)^2 + y^2}$

$3x + 25 = 5\sqrt{(x+3)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$9x^2 + 150x + 625 = 25((x+3)^2 + y^2)$

$9x^2 + 150x + 625 = 25(x^2 + 6x + 9 + y^2)$

$9x^2 + 150x + 625 = 25x^2 + 150x + 225 + 25y^2$

$16x^2 + 25y^2 = 400$

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

(3) 点Pの座標を$(x, y)$とします。2点$F(2, 0)$、$F'(-2, 0)$からの距離の差が2なので、

$|\sqrt{(x-2)^2 + y^2} - \sqrt{(x+2)^2 + y^2}| = 2$

$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} - \sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \pm 2$

$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \pm 2 + \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x-2)^2 + y^2 = 4 \pm 4\sqrt{(x+2)^2 + y^2} + (x+2)^2 + y^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4 \pm 4\sqrt{(x+2)^2 + y^2} + x^2 + 4x + 4 + y^2$

$-8x - 4 = \pm 4\sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

$-2x - 1 = \pm \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$4x^2 + 4x + 1 = (x+2)^2 + y^2$

$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2$

$3x^2 - y^2 = 3$

$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $y^2 = -4x$

(2) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

(3) $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$