直方体ABCD-EFGHにおいて、$FG = 4\sqrt{2}$, $CG = 2\sqrt{6}$, $HG = 4\sqrt{2}$である。三角形CFHの面積は$8\sqrt{10}$である。 (1) 三角錐C-FGHの体積Vを求める。 (2) 点Gから平面CFHに下ろした垂線の足Iとするとき、GIの長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$FG = 4\sqrt{2}$, $CG = 2\sqrt{6}$, $HG = 4\sqrt{2}$である。三角形CFHの面積は$8\sqrt{10}$である。

(1) 三角錐C-FGHの体積Vを求める。

(2) 点Gから平面CFHに下ろした垂線の足Iとするとき、GIの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角錐C-FGHの体積Vを求める。

三角錐C-FGHの底面を三角形FGHとすると、高さはCGとなる。

三角形FGHはFG=HGの二等辺三角形であり、$FG = HG = 4\sqrt{2}$なので、三角形FGHの面積は、

$S = \frac{1}{2} \times FG \times HG = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 16 \times 2 = 16$

よって、三角錐C-FGHの体積Vは、

$V = \frac{1}{3} \times S \times CG = \frac{1}{3} \times 16 \times 2\sqrt{6} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$

(2) 点Gから平面CFHに下ろした垂線の足Iとするとき、GIの長さを求める。

三角錐C-FGHの体積Vは、底面を三角形CFHとしたとき、高さはGIとなる。

三角形CFHの面積は$8\sqrt{10}$なので、

$V = \frac{1}{3} \times 8\sqrt{10} \times GI = \frac{32\sqrt{6}}{3}$

よって、

$GI = \frac{32\sqrt{6}}{3} \times \frac{3}{8\sqrt{10}} = \frac{32\sqrt{6}}{8\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{60}}{10} = \frac{4 \times 2\sqrt{15}}{10} = \frac{8\sqrt{15}}{10} = \frac{4\sqrt{15}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{32\sqrt{6}}{3}$

(2) $GI = \frac{4\sqrt{15}}{5}$