一辺の長さが2の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。 (1) $\sin \angle OMC$ の値を求める。 (2) $\triangle OMC$ の面積 $S$ を求める。 (3) 正四面体OABCの体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。

(1) $\sin \angle OMC$ の値を求める。

(2) $\triangle OMC$ の面積 $S$ を求める。

(3) 正四面体OABCの体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \angle OMC$ の値を求める。

$\triangle OMA$ と $\triangle CMB$ は合同な直角三角形なので、$OM = CM$である。

$OM = CM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

$OC = 2$

$\triangle OMC$において余弦定理を用いると

$OC^2 = OM^2 + CM^2 - 2OM \cdot CM \cos \angle OMC$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cos \angle OMC$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos \angle OMC$

$6 \cos \angle OMC = 2$

$\cos \angle OMC = \frac{1}{3}$

$\sin^2 \angle OMC + \cos^2 \angle OMC = 1$より

$\sin^2 \angle OMC = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \angle OMC = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $\triangle OMC$ の面積 $S$ を求める。

$S = \frac{1}{2} OM \cdot CM \sin \angle OMC = \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$

(3) 正四面体OABCの体積 $V$ を求める。

正四面体の頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足をHとすると、Hは$\triangle ABC$の重心となる。

$\triangle ABC$の面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$

$AH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 - \frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{36-12}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

$V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \times OH = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{18}}{9} = \frac{2 \times 3\sqrt{2}}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle OMC = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $S = \sqrt{2}$

(3) $V = \frac{2\sqrt{2}}{3}$