長方形ABCDがあり、$AB = 15$ cm、$BC = 30$ cmである。点Pは毎秒1 cmの速さでAからBへ、点Qは毎秒2 cmの速さでBからCへ移動する。PとQが同時に出発するとき、次の問いに答える。 (1) $x$秒後のPBの長さを、$x$を用いて表す。 (2) 三角形PBQの面積が50 cm$^2$になるのは何秒後か。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB = 15$ cm、$BC = 30$ cmである。点Pは毎秒1 cmの速さでAからBへ、点Qは毎秒2 cmの速さでBからCへ移動する。PとQが同時に出発するとき、次の問いに答える。

(1) $x$秒後のPBの長さを、$x$を用いて表す。

(2) 三角形PBQの面積が50 cm$^2$になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

(1)

点PはAからBへ毎秒1 cmの速さで移動するので、$x$秒後のAPの長さは$x$ cmである。

PBの長さはABの長さからAPの長さを引いたものなので、$PB = AB - AP$。

$AB = 15$ cm、$AP = x$ cmなので、$PB = 15 - x$。

(2)

$x$秒後のPBの長さは$(15 - x)$ cmである。

点QはBからCへ毎秒2 cmの速さで移動するので、$x$秒後のBQの長さは$2x$ cmである。

三角形PBQの面積は$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$で表される。

したがって、

$\frac{1}{2} \times (15 - x) \times 2x = 50$

$(15 - x) \times x = 50$

$15x - x^2 = 50$

$x^2 - 15x + 50 = 0$

$(x - 5)(x - 10) = 0$

$x = 5$または$x = 10$

QはBからCまで移動するので、BQの長さは最大でBCの長さに等しい。

BQの長さは$2x$なので、$2x \le 30$となり、$x \le 15$。

したがって、$x = 5$と$x = 10$はいずれも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $(15 - x)$ cm

(2) 5秒後と10秒後