三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AC、ABを1:2に内分するとき、線分COとORの長さの比 $CO:OR$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AC、ABを1:2に内分するとき、線分COとORの長さの比 $CO:OR$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を使うことで解けます。

まず、チェバの定理を使ってBO:OQを求めます。チェバの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

$AR:RB=2:2=1:1$、 $AQ:QC=2:1$ より $BC/CQ=3:1$を代入して

$$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CO}{OB} = 1$$

したがって、

$$\frac{BO}{OC} = \frac{3}{2}$$

次に、三角形ACRにおいて、直線B-O-Qに関してメネラウスの定理を用いると、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

$AR/RB = 1$、$CQ/QA=1/2$ を代入して、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

$$1 * \frac{BO}{OC} * \frac{1}{2} = 1$$

$$\frac{BO}{OC} = 2$$

$$\frac{BO}{OC} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{AO}{OC} = \frac{3}{1}$$

$$\frac{CO}{OC} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{AO}{OR} * \frac{RB}{BA} *\frac{AC}{CO} = 1$$

$$\frac{AC}{CQ} = 3:2$$

$$CO:OR = x:y$$

メネラウスの定理を triangle ACR とライン BQを使うと、

$\frac{AR}{RB} * \frac{BO}{OC} * \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{1} * \frac{BO}{OC} * \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BO}{OC} = 2$

$CO/BO = 1/2$

三角形 BCO と ラインARを使うと、

$\frac{BA}{AR} * \frac{RO}{OC} * \frac{CQ}{QB} = 1$

3. 最終的な答え

2:3