(6) サイコロを $n$ 回投げて出る目の最大値が4である確率を求めよ。 (7) $6x - 5y = 1$ を満たす整数解をすべて求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題(6)と(7)を解きます。

1. 問題の内容

(6) サイコロを $n$ 回投げて出る目の最大値が4である確率を求めよ。

(7) $6x - 5y = 1$ を満たす整数解をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(6) サイコロを $n$ 回投げて出る目の最大値が4である確率

* 1回の試行で出る目が4以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。したがって、$n$ 回の試行で全て4以下である確率は $(\frac{2}{3})^n = \frac{4^n}{6^n}$。

* 1回の試行で出る目が3以下である確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。したがって、$n$ 回の試行で全て3以下である確率は $(\frac{1}{2})^n = \frac{3^n}{6^n}$。

* $n$ 回の試行で最大値が4である確率は、$n$ 回の試行で全て4以下である確率から、$n$ 回の試行で全て3以下である確率を引けばよい。

したがって、求める確率は $\frac{4^n}{6^n} - \frac{3^n}{6^n} = \frac{4^n - 3^n}{6^n}$。

(7) $6x - 5y = 1$ を満たす整数解をすべて求める

* まず、$6x - 5y = 1$ を満たす特殊解を一つ見つける。$x=1$, $y=1$ が特殊解である。

$6(1) - 5(1) = 1$

* $6x - 5y = 1$ から $6(1) - 5(1) = 1$ を引くと、

$6(x-1) - 5(y-1) = 0$

$6(x-1) = 5(y-1)$

* 6と5は互いに素なので、$x-1$ は5の倍数である。したがって、$x-1 = 5n$ と書ける（$n$は整数）。このとき、$x = 5n + 1$。

* これを $6(x-1) = 5(y-1)$ に代入すると、$6(5n) = 5(y-1)$ より $6n = y-1$。したがって、$y = 6n + 1$。

3. 最終的な答え

(6) $\frac{4^n - 3^n}{6^n}$

(7) $x = 5n + 1$, $y = 6n + 1$ （$n$は整数）