与えられた8つの関数について、不定積分を計算します。 (1) $(x^4 + x^2 - 2x + 3)(2x^3 + x - 1)$ (2) $x^2e^{-x}$ (3) $\arcsin x$ (4) $\sin^3 x$ (5) $\sqrt{4-x^2}$ (6) $x\sqrt{4-x^2}$ (7) $\frac{1+x}{1-x^2}$ (8) $\frac{1+x}{1+x^2}$

1. 問題の内容

与えられた8つの関数について、不定積分を計算します。

(1) $(x^4 + x^2 - 2x + 3)(2x^3 + x - 1)$

(2) $x^2e^{-x}$

(3) $\arcsin x$

(4) $\sin^3 x$

(5) $\sqrt{4-x^2}$

(6) $x\sqrt{4-x^2}$

(7) $\frac{1+x}{1-x^2}$

(8) $\frac{1+x}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $(x^4 + x^2 - 2x + 3)^2(2x^3 + x - 1)$

$u = x^4 + x^2 - 2x + 3$ とおくと、$du = (4x^3 + 2x - 2) dx = 2(2x^3 + x - 1) dx$ となります。したがって、

$\int (x^4 + x^2 - 2x + 3)(2x^3 + x - 1) dx = \int u^2 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^2 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3} + C = \frac{1}{6}(x^4 + x^2 - 2x + 3)^3 + C$

(2) $x^2e^{-x}$

部分積分を2回用います。

$I = \int x^2 e^{-x} dx$

$u = x^2$, $dv = e^{-x}dx$ とおくと、$du = 2x dx$, $v = -e^{-x}$ なので、

$I = -x^2 e^{-x} - \int -e^{-x} (2x) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

$u = x$, $dv = e^{-x}dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ なので、

$\int x e^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

したがって、

$I = -x^2 e^{-x} + 2(-xe^{-x} - e^{-x}) + C = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$

(3) $\arcsin x$

部分積分を用います。

$\int \arcsin x dx = \int 1 \cdot \arcsin x dx$

$u = \arcsin x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ なので、

$\int \arcsin x dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$t = 1-x^2$ とおくと、$dt = -2x dx$ なので、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-1}{2\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2t^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

(4) $\sin^3 x$

$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1-\cos^2 x)\sin x$

$\int \sin^3 x dx = \int (1-\cos^2 x)\sin x dx$

$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ なので、

$\int (1-\cos^2 x)\sin x dx = \int (1-u^2)(-du) = -\int (1-u^2) du = \int (u^2-1) du = \frac{u^3}{3} - u + C = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$

(5) $\sqrt{4-x^2}$

$x = 2\sin \theta$ とおくと、$dx = 2\cos \theta d\theta$ なので、

$\int \sqrt{4-x^2} dx = \int \sqrt{4-4\sin^2 \theta} \cdot 2\cos \theta d\theta = \int 2\cos \theta \cdot 2\cos \theta d\theta = 4 \int \cos^2 \theta d\theta = 4 \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = 2 \int (1+\cos 2\theta) d\theta = 2(\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) + C = 2\theta + \sin 2\theta + C = 2\theta + 2\sin \theta \cos \theta + C$

$x = 2\sin \theta$ より $\sin \theta = \frac{x}{2}$ なので、$\theta = \arcsin \frac{x}{2}$

また、$\cos \theta = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$

したがって、

$\int \sqrt{4-x^2} dx = 2\arcsin \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin \frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$

(6) $x\sqrt{4-x^2}$

$u = 4-x^2$ とおくと、$du = -2x dx$ なので、

$\int x\sqrt{4-x^2} dx = \int \sqrt{u} (-\frac{1}{2}du) = -\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3} (4-x^2)^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3} (4-x^2)\sqrt{4-x^2} + C$

(7) $\frac{1+x}{1-x^2}$

$\frac{1+x}{1-x^2} = \frac{1+x}{(1-x)(1+x)} = \frac{1}{1-x}$

$\int \frac{1+x}{1-x^2} dx = \int \frac{1}{1-x} dx$

$u = 1-x$ とおくと、$du = -dx$ なので、

$\int \frac{1}{1-x} dx = \int \frac{1}{u} (-du) = -\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| + C = -\ln |1-x| + C$

(8) $\frac{1+x}{1+x^2}$

$\frac{1+x}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{x}{1+x^2}$

$\int \frac{1+x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx + \int \frac{x}{1+x^2} dx = \arctan x + \int \frac{x}{1+x^2} dx$

$u = 1+x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ なので、

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

したがって、

$\int \frac{1+x}{1+x^2} dx = \arctan x + \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}(x^4 + x^2 - 2x + 3)^3 + C$

(2) $-(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$

(3) $x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

(4) $\frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$

(5) $2\arcsin \frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$

(6) $-\frac{1}{3} (4-x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

(7) $-\ln |1-x| + C$

(8) $\arctan x + \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$