チェバの定理の逆を利用して、BOが角Bの二等分線であることを示す。
まず、チェバの定理より、
RBAR×CQBC×ARQA=1が成り立つかを調べる。 図より、RBAR=21, QCAQ=13 AR:RB=1:2,AQ:QC=3:1なので、AC=AQ+QC, AB=AR+RB メネラウスの定理を三角形ABOで使い、直線RCを横切るものとして考えます。
RBAR×COBC×QAOQ=1 ここで、点Oは三角形ABCの内にあるので、チェバの定理の逆により、BOが角Bの二等分線であると仮定すると、線分BOが線分ACを比率m:nで分割する場合、BC:BA=m:nとなります。 ただし、これは問題文には明確に記載されていないため、別のアプローチが必要になります。
ベクトルを用いて解きます。
AB=b, AC=cとすると、 AR=31b, AQ=43c AO=sAQ+(1−s)ARと表せる。また、AO=tAC+(1−t)ABと表せる。 AO=s43c+(1−s)31b AO=tc+(1−t)b 係数を比較して、s43=tかつ(1−s)31=1−t t=43s, 1−t=31−3s 1−43s=31−3s 1−31=43s−31s 32=(129−124)s=125s s=32×512=58 t=43×58=56 AO=56c+(1−56)b=56c−51b (おかしい) チェバの定理より、RBAR×COBC×ARQA=1を考えてみます。この場合、 21×yx×13=1 したがって、yx=OBCOについて考えると、yx=32