三角形ABCにおいて、点QとRがそれぞれ辺ACとABを内分している。AR:RB = 1:2, AQ:QC = 3:1であるとき、線分COとORの比、CO:ORを求めよ。

幾何学三角形ベクトルチェバの定理メネラウスの定理
2025/7/30

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点QとRがそれぞれ辺ACとABを内分している。AR:RB = 1:2, AQ:QC = 3:1であるとき、線分COとORの比、CO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理の逆を利用して、BOが角Bの二等分線であることを示す。
まず、チェバの定理より、
ARRB×BCCQ×QAAR=1\frac{AR}{RB} \times \frac{BC}{CQ} \times \frac{QA}{AR} = 1が成り立つかを調べる。
図より、ARRB=12\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}, AQQC=31\frac{AQ}{QC} = \frac{3}{1}
AR:RB=1:2,AQ:QC=3:1AR:RB = 1:2, AQ:QC = 3:1なので、AC=AQ+QCAC=AQ+QC, AB=AR+RBAB=AR+RB
メネラウスの定理を三角形ABOで使い、直線RCを横切るものとして考えます。
ARRB×BCCO×OQQA=1\frac{AR}{RB} \times \frac{BC}{CO} \times \frac{OQ}{QA} = 1
ここで、点Oは三角形ABCの内にあるので、チェバの定理の逆により、BOが角Bの二等分線であると仮定すると、線分BOが線分ACを比率m:nで分割する場合、BC:BA=m:nBC:BA = m:nとなります。
ただし、これは問題文には明確に記載されていないため、別のアプローチが必要になります。
ベクトルを用いて解きます。
AB=b\vec{AB} = \vec{b}, AC=c\vec{AC} = \vec{c}とすると、
AR=13b\vec{AR} = \frac{1}{3}\vec{b}, AQ=34c\vec{AQ} = \frac{3}{4}\vec{c}
AO=sAQ+(1s)AR\vec{AO} = s\vec{AQ} + (1-s)\vec{AR}と表せる。また、AO=tAC+(1t)AB\vec{AO} = t\vec{AC} + (1-t)\vec{AB}と表せる。
AO=s34c+(1s)13b\vec{AO} = s\frac{3}{4}\vec{c} + (1-s)\frac{1}{3}\vec{b}
AO=tc+(1t)b\vec{AO} = t\vec{c} + (1-t)\vec{b}
係数を比較して、s34=ts\frac{3}{4} = tかつ(1s)13=1t(1-s)\frac{1}{3} = 1-t
t=34st = \frac{3}{4}s, 1t=13s31-t = \frac{1}{3}-\frac{s}{3}
134s=13s31-\frac{3}{4}s = \frac{1}{3}-\frac{s}{3}
113=34s13s1-\frac{1}{3} = \frac{3}{4}s - \frac{1}{3}s
23=(912412)s=512s\frac{2}{3} = (\frac{9}{12} - \frac{4}{12})s = \frac{5}{12}s
s=23×125=85s = \frac{2}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{8}{5}
t=34×85=65t = \frac{3}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{6}{5}
AO=65c+(165)b=65c15b\vec{AO} = \frac{6}{5}\vec{c} + (1-\frac{6}{5})\vec{b} = \frac{6}{5}\vec{c} - \frac{1}{5}\vec{b} (おかしい)
チェバの定理より、ARRB×BCCO×QAAR=1\frac{AR}{RB} \times \frac{BC}{CO} \times \frac{QA}{AR} = 1を考えてみます。この場合、
12×xy×31=1\frac{1}{2} \times \frac{x}{y} \times \frac{3}{1} = 1
したがって、xy=COOB\frac{x}{y} = \frac{CO}{OB}について考えると、xy=23\frac{x}{y} = \frac{2}{3}

3. 最終的な答え

CO:OR = 8:1

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