$\triangle ABC$において、点$Q, R$がそれぞれ辺$BC, AC$を$3:1$、$2:1$に内分するとき、$BO:OR$を求めよ。ここで、$O$は線分$AQ$と$BR$の交点である。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、点$Q, R$がそれぞれ辺$BC, AC$を$3:1$、$2:1$に内分するとき、$BO:OR$を求めよ。ここで、$O$は線分$AQ$と$BR$の交点である。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。$\triangle ACQ$と直線$BR$について、メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{8}{3} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{QO}{OA} = \frac{3}{8}$

したがって、$OA : QO = 8:3$

次に、$\triangle BCRA$と直線$AQ$について、メネラウスの定理より、

$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AO}{OB}=1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AO}{OR} =1$

$\frac{AO}{OR} = \frac{AO}{OR}=2:1$

$OA = OR \times 2 =2OR$

$OA: QO=8:3$

なので、$OA=\frac{8}{3}QO$

よって、$2OR = \frac{8}{3} QO$

$OR=\frac{4}{3}QO$

$BR=BO+OR=BO+\frac{4}{3}QO$

$BO:OR$を求めるために、$BO: OR= x:1$ とおくと

$BO=xOR$

$\triangle CBQ$と直線$AR$に対してメネラウスの定理を適用すると

$\frac{CR}{RA} \cdot \frac{AO}{OQ} \cdot \frac{QB}{BC}=1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}=1$

$\frac{24}{24}=1$

$AO=2OR$

$BO: OR$比率を求めます。

$\triangle ABR$と直線$CQ$にメネラウスの定理を使うと、

$\frac{BC}{CQ} \times \frac{QO}{OA} \times \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{4}{1}\times \frac{OR}{OA}\times \frac{BO}{BR}=\frac{8}{11}$

$\triangle ABC$において、AQとBRの交点Oなので、

面積比で考える

$\frac{BO}{OR} = \frac{BA \cdot BQ}{AR \cdot RC} = \frac{56}{3}$

したがって、$BO:OR = 5:1$

3. 最終的な答え

BO : OR = 5 : 1