三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを $AQ:QC = 3:1$, $AR:RB = 1:3$ の比に内分するとき、線分COと線分ORの比 $CO:OR$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを $AQ:QC = 3:1$, $AR:RB = 1:3$ の比に内分するとき、線分COと線分ORの比 $CO:OR$ を求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形ABOと直線RCに適用する（OはCOとBRの交点）。

メネラウスの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

$AR:RB = 1:3$, $AQ:QC = 3:1$より、$AR/RB = 1/3$, $QA/QC = 3$。また、$BC = BQ + QC$なので、$BC/CO = (BQ+QC)/CO$

ここで、$QC = AC - AQ$であり、$AQ = 3/4 AC$なので、$QC = 1/4 AC$。

したがって、$AC = 4QC$

三角形ABCに対してチェバの定理を適用すると

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

$AR/RB = 1/3, CQ/QA = 1/3$より

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{1}{3} = 1$$

$$\frac{BO}{OC} = 9$$

$$\frac{OC}{BO} = \frac{1}{9}$$

したがって $BO = 9OC$

メネラウスの定理を三角形ABOと直線RCに適用すると

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO+OC}{CO} \cdot \frac{OQ}{3} = 1$$

$BO = 9OC$より

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{9OC+OC}{CO} \cdot \frac{OQ}{3} = 1$$

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{10OC}{CO} \cdot \frac{OQ}{3} = 1$$

$$\frac{10}{9} OQ = 1$$

$OQ = \frac{9}{10}$

$CQ = CA - AQ = CA - 3/4 CA = 1/4 CA$

三角形ARQと三角形ABCは相似ではない。

$AO:AC$を求める。

$AQ = \frac{3}{4} AC$

メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{BO+OC}{CO} \cdot \frac{OQ}{3} = 1$$

$$\frac{1}{9} (\frac{BO}{CO}+1)OQ = 1$$

$\frac{BO}{CO}=9$

$\frac{1}{9}(9+1)OQ = 1$

$\frac{10}{9}OQ=1$

$OQ = \frac{9}{10}$

$CO = CQ + QO = 1/4 AC+ OQ$

$\frac{AQ}{AC}=\frac{3}{4}, \frac{AR}{AB}=\frac{1}{4}$

$CO:OR = 10:3$

3. 最終的な答え

$CO:OR = 10:3$