三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを1:2に内分し、点Rが辺ACを1:3に内分するとき、線分AO:OQの比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを1:2に内分し、点Rが辺ACを1:3に内分するとき、線分AO:OQの比を求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用する。

三角形BCRと直線AQにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

問題文より、AR:RC = 1:3なので、AR = AC/4、RC = 3AC/4となる。

よって、$\frac{AR}{AC} = \frac{1}{4}$。ゆえに、$\frac{AC}{AR}=4$。

$\frac{BA}{AR} = \frac{BA}{AC/4} = 4\frac{BA}{AC}$

また、BQ:QC = 1:2なので、$\frac{CQ}{QB} = 2$。

また、$AO = x, OQ = y$ とすると、$\frac{RO}{OC}$は不明なので、このままにしておく。

これらをメネラウスの定理の式に代入すると、

$4\frac{BA}{AC} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot 2 = 1$

$\frac{RO}{OC} = \frac{1}{8} \cdot \frac{AC}{BA}$

次に、チェバの定理を利用して、点Oが内部にある条件から比を求める。

チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

ここで、点PはAB上にある点とします。

今回はメネラウスの定理の方が使いやすそうです。

三角形ACQと直線BRについてメネラウスの定理を用いると

$\frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} \cdot \frac{AR}{RC} = 1$

$CB = CQ+QB=3QB$. よって$CB/BQ = 3$

$AR/RC=1/3$

したがって

$3 \cdot \frac{QO}{OA} \cdot \frac{1}{3}=1$

$\frac{QO}{OA}=1$

$\frac{AO}{QO}=1$

$AO : QO = 3:1$

3. 最終的な答え

3:1