定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$ を計算します。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = 1 - x$ とおくと、$x = 1 - u$ であり、$dx = -du$ となります。積分の範囲も変わります。$x = 0$ のとき、$u = 1$、$x = 1$ のとき、$u = 0$ となります。よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx = \int_{1}^{0} \frac{1-u}{\sqrt{u}} (-du) = \int_{0}^{1} \frac{1-u}{\sqrt{u}} du$

この積分を計算するために、被積分関数を次のように書き換えます。

$\frac{1-u}{\sqrt{u}} = \frac{1}{\sqrt{u}} - \frac{u}{\sqrt{u}} = u^{-\frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (u^{-\frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}}) du = \left[ \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \left[ 2\sqrt{u} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1}$

この値を計算すると次のようになります。

$\left[ 2\sqrt{1} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} \right] - \left[ 2\sqrt{0} - \frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}} \right] = 2 - \frac{2}{3} - 0 = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$