半径10cmの円周上を、質点が1分間に600回の割合で反時計回りに回転している。 (1) 角速度を計算する。 (2) 速さを計算する。 (3) 加速度の大きさを計算する。 (4) 質点のx, y座標を時刻tの関数として表す。ただし、t=0で正のx軸上にあったとする。 (5) t=0で正のy軸上にあったとすると、問 (4) の答はどうなるか。 (6) 時計回りに回転していたとすると、問 (4) の答はどうなるか。

1. 問題の内容

半径10cmの円周上を、質点が1分間に600回の割合で反時計回りに回転している。

(1) 角速度を計算する。

(2) 速さを計算する。

(3) 加速度の大きさを計算する。

(4) 質点のx, y座標を時刻tの関数として表す。ただし、t=0で正のx軸上にあったとする。

(5) t=0で正のy軸上にあったとすると、問 (4) の答はどうなるか。

(6) 時計回りに回転していたとすると、問 (4) の答はどうなるか。

2. 解き方の手順

(1) 角速度の計算

1分間に600回転なので、1秒間には600/60 = 10回転する。1回転は $2\pi$ ラジアンなので、角速度 $\omega$ は

$\omega = 10 \times 2\pi = 20\pi$ rad/s

(2) 速さの計算

速さ $v$ は、半径 $r$ と角速度 $\omega$ を用いて $v = r\omega$ で表される。

$r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ なので、

$v = 0.1 \times 20\pi = 2\pi$ m/s

(3) 加速度の大きさの計算

加速度の大きさ $a$ は、半径 $r$ と角速度 $\omega$ を用いて $a = r\omega^2$ で表される。

$a = 0.1 \times (20\pi)^2 = 0.1 \times 400\pi^2 = 40\pi^2$ m/s$^2$

(4) 質点のx, y座標を時刻tの関数として表す。ただし、t=0で正のx軸上にあったとする。

$x = r\cos(\omega t)$

$y = r\sin(\omega t)$

$r=0.1$ m, $\omega=20\pi$ rad/sなので

$x = 0.1\cos(20\pi t)$

$y = 0.1\sin(20\pi t)$

(5) t=0で正のy軸上にあったとすると、問 (4) の答はどうなるか。

初期位相が $\pi/2$ となるので、

$x = 0.1\cos(20\pi t + \pi/2) = -0.1\sin(20\pi t)$

$y = 0.1\sin(20\pi t + \pi/2) = 0.1\cos(20\pi t)$

(6) 時計回りに回転していたとすると、問 (4) の答はどうなるか。

角速度の符号が反転するので、$\omega = -20\pi$ rad/s

$x = 0.1\cos(-20\pi t) = 0.1\cos(20\pi t)$

$y = 0.1\sin(-20\pi t) = -0.1\sin(20\pi t)$

3. 最終的な答え

(1) 角速度: $20\pi$ rad/s

(2) 速さ: $2\pi$ m/s

(3) 加速度の大きさ: $40\pi^2$ m/s$^2$

(4) $x = 0.1\cos(20\pi t)$, $y = 0.1\sin(20\pi t)$

(5) $x = -0.1\sin(20\pi t)$, $y = 0.1\cos(20\pi t)$

(6) $x = 0.1\cos(20\pi t)$, $y = -0.1\sin(20\pi t)$