単振動の一般解が $x = C_1 \sin(\omega t + C_2)$ と与えられている。初期条件に基づいて、定数 $C_1$ と $C_2$ を決定する。 (1) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x=0$ (2) 時刻 $t=0$ で $x=0$, $v_x=-b$ (3) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x=a\omega$

1. 問題の内容

単振動の一般解が $x = C_1 \sin(\omega t + C_2)$ と与えられている。初期条件に基づいて、定数 $C_1$ と $C_2$ を決定する。

(1) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x=0$

(2) 時刻 $t=0$ で $x=0$, $v_x=-b$

(3) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x=a\omega$

2. 解き方の手順

まず、速度 $v_x$ を求める。$x$ を時間 $t$ で微分すると、

$v_x = \frac{dx}{dt} = C_1 \omega \cos(\omega t + C_2)$

(1) $t=0$ で $x=a$, $v_x=0$ のとき

$x(0) = C_1 \sin(C_2) = a$

$v_x(0) = C_1 \omega \cos(C_2) = 0$

$C_1 \neq 0$ より、$\cos(C_2)=0$。したがって、$C_2 = \frac{\pi}{2}$ または $C_2 = \frac{3\pi}{2}$。

$C_2 = \frac{\pi}{2}$ のとき、$C_1 \sin(\frac{\pi}{2}) = C_1 = a$

$C_2 = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$C_1 \sin(\frac{3\pi}{2}) = -C_1 = a$, つまり $C_1 = -a$。

$C_1 > 0$ と仮定すると、$C_1 = a$ かつ $C_2 = \frac{\pi}{2}$

(2) $t=0$ で $x=0$, $v_x=-b$ のとき

$x(0) = C_1 \sin(C_2) = 0$

$v_x(0) = C_1 \omega \cos(C_2) = -b$

$C_1 \neq 0$ より、$\sin(C_2) = 0$。したがって、$C_2 = 0$ または $C_2 = \pi$。

$C_2 = 0$ のとき、$C_1 \omega \cos(0) = C_1 \omega = -b$, つまり $C_1 = -\frac{b}{\omega}$

$C_2 = \pi$ のとき、$C_1 \omega \cos(\pi) = -C_1 \omega = -b$, つまり $C_1 = \frac{b}{\omega}$

(3) $t=0$ で $x=a$, $v_x=a\omega$ のとき

$x(0) = C_1 \sin(C_2) = a$

$v_x(0) = C_1 \omega \cos(C_2) = a\omega$

$\frac{v_x(0)}{x(0)} = \frac{C_1 \omega \cos(C_2)}{C_1 \sin(C_2)} = \omega \cot(C_2) = \frac{a\omega}{a} = \omega$

$\cot(C_2) = 1$ より、$C_2 = \frac{\pi}{4}$ または $C_2 = \frac{5\pi}{4}$

$C_2 = \frac{\pi}{4}$ のとき、$C_1 \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{C_1}{\sqrt{2}} = a$, つまり $C_1 = a\sqrt{2}$

$C_2 = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$C_1 \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{C_1}{\sqrt{2}} = a$, つまり $C_1 = -a\sqrt{2}$

$C_1 > 0$ と仮定すると、$C_1 = a\sqrt{2}$ かつ $C_2 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $C_1 = a$, $C_2 = \frac{\pi}{2}$

(2) $C_1 = -\frac{b}{\omega}$, $C_2 = 0$ または $C_1 = \frac{b}{\omega}$, $C_2 = \pi$

(3) $C_1 = a\sqrt{2}$, $C_2 = \frac{\pi}{4}$