単振動の一般解 $x = C_1 \sin(\omega t + C_2)$ が与えられたとき、以下の初期条件を満たす解を求めます。 (1) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x = 0$ (2) 時刻 $t=0$ で $x=0$, $v_x = -b$ (3) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x = a\omega$

1. 問題の内容

単振動の一般解 $x = C_1 \sin(\omega t + C_2)$ が与えられたとき、以下の初期条件を満たす解を求めます。

(1) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x = 0$

(2) 時刻 $t=0$ で $x=0$, $v_x = -b$

(3) 時刻 $t=0$ で $x=a$, $v_x = a\omega$

2. 解き方の手順

まず、速度 $v_x$ を求めます。

$v_x = \frac{dx}{dt} = C_1\omega \cos(\omega t + C_2)$

次に、それぞれの初期条件を適用して、$C_1$ と $C_2$ を求めます。

(1) $t=0$ で $x=a$, $v_x = 0$

$x(0) = C_1 \sin(C_2) = a$

$v_x(0) = C_1 \omega \cos(C_2) = 0$

$C_1 \neq 0$ より、$\cos(C_2) = 0$ なので、$C_2 = \frac{\pi}{2}$ (または $C_2 = \frac{3\pi}{2}$など)

$C_1 \sin(\frac{\pi}{2}) = C_1 = a$

よって、$x = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = a \cos(\omega t)$

(2) $t=0$ で $x=0$, $v_x = -b$

$x(0) = C_1 \sin(C_2) = 0$

$v_x(0) = C_1 \omega \cos(C_2) = -b$

$C_1 \neq 0$ より、$\sin(C_2) = 0$ なので、$C_2 = 0$ または $C_2 = \pi$

$C_2 = 0$ のとき、$C_1 \omega \cos(0) = C_1 \omega = -b$ なので、$C_1 = -\frac{b}{\omega}$

$x = -\frac{b}{\omega} \sin(\omega t)$

$C_2 = \pi$ のとき、$C_1 \omega \cos(\pi) = -C_1 \omega = -b$ なので、$C_1 = \frac{b}{\omega}$

$x = \frac{b}{\omega} \sin(\omega t + \pi) = - \frac{b}{\omega} \sin(\omega t)$

どちらの場合も同じ解になります。

(3) $t=0$ で $x=a$, $v_x = a\omega$

$x(0) = C_1 \sin(C_2) = a$

$v_x(0) = C_1 \omega \cos(C_2) = a\omega$

$C_1 \neq 0$ より、$\cos(C_2) = \frac{a}{C_1}$

$\sin(C_2) = \frac{a}{C_1}$

$\sin^2(C_2) + \cos^2(C_2) = 1$ より

$(\frac{a}{C_1})^2 + (\frac{a}{C_1})^2 = 1$

$2 (\frac{a}{C_1})^2 = 1$

$(\frac{a}{C_1})^2 = \frac{1}{2}$

$\frac{a}{C_1} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$C_1 = \pm a\sqrt{2}$

$C_1 = a\sqrt{2}$ のとき、$\sin(C_2) = \cos(C_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $C_2 = \frac{\pi}{4}$

$x = a\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$

$C_1 = -a\sqrt{2}$ のとき、$\sin(C_2) = \cos(C_2) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $C_2 = \frac{5\pi}{4}$

$x = -a\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{5\pi}{4}) = a\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $x = a \cos(\omega t)$

(2) $x = -\frac{b}{\omega} \sin(\omega t)$

(3) $x = a\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$