ある財の需要曲線が $D = 250 - 5p$ で与えられている。ここで、$D$は需要量、$p$は価格である。 (1) 価格が30の時の需要の価格弾力性を求めよ。 (2) 需要の価格弾力性が1となる価格を求めよ。 (3) 需要の価格弾力性が1となるときの需要量を求めよ。

1. 問題の内容

ある財の需要曲線が $D = 250 - 5p$ で与えられている。ここで、$D$は需要量、$p$は価格である。

(1) 価格が30の時の需要の価格弾力性を求めよ。

(2) 需要の価格弾力性が1となる価格を求めよ。

(3) 需要の価格弾力性が1となるときの需要量を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 需要の価格弾力性は、

$$$$

E_d = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}

$$$$

で定義される。まず、需要関数 $D = 250 - 5p$ を $p$ で微分すると、

$$$$

\frac{dD}{dp} = -5

$$$$

価格が $p=30$ のとき、需要量は $D = 250 - 5(30) = 250 - 150 = 100$ である。

したがって、価格弾力性は

$$$$

E_d = -5 \cdot \frac{30}{100} = -1.5

$$$$

(2) 需要の価格弾力性が1となる価格を求める。

$$$$

E_d = \frac{dD}{dp} \cdot \frac{p}{D} = -5 \cdot \frac{p}{250 - 5p}

$$$$

価格弾力性が1となるのは $|E_d| = 1$ のときなので、

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|-5 \cdot \frac{p}{250 - 5p}| = 1

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5 \cdot \frac{p}{250 - 5p} = 1

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5p = 250 - 5p

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$$$$

10p = 250

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p = 25

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したがって、需要の価格弾力性が1となる価格は25である。

(3) 需要の価格弾力性が1となるときの需要量を求める。

価格が $p=25$ のとき、需要量は

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D = 250 - 5(25) = 250 - 125 = 125

$$$$

したがって、需要の価格弾力性が1となるときの需要量は125である。

3. 最終的な答え

(1) 需要の価格弾力性：-1.5

(2) 価格：25

(3) 需要量：125