一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上に点E, Fがあり、AE=EF=FBである。辺DC上に点G, Hがあり、DG=(1/2)GH=HCである。FGとEHの交点をP, BGとEHの交点をQとする。 (1) EHの長さを求めよ。 (2) PQの長さを求めよ。 (3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上に点E, Fがあり、AE=EF=FBである。辺DC上に点G, Hがあり、DG=(1/2)GH=HCである。FGとEHの交点をP, BGとEHの交点をQとする。

(1) EHの長さを求めよ。

(2) PQの長さを求めよ。

(3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) EHの長さを求める。

まず、AE=EF=FBより、AE = 12/3 = 4cmとなる。

また、DG=(1/2)GH=HCより、DG = (1/5) * 12 = 12/5 cmとなる。

正方形ABCDの一辺の長さは12cmなので、点EからDCに垂線を下ろし、交点をIとすると、EI = 12cm。

点HからABに垂線を下ろし、交点をJとすると、HJ = 12cm。

三角形EHIにおいて、EH = $\sqrt{EI^2 + HI^2}$

HI = HC - IC = HC - AE = 12/5 - 4 = -8/5

ここで、HIの長さは正なのでHI = |HC - AE| = 8/5 cmとなる。

EH = $\sqrt{12^2 + (\frac{8}{5})^2} = \sqrt{144 + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{3600+64}{25}} = \sqrt{\frac{3664}{25}} = \frac{\sqrt{3664}}{5} = \frac{4\sqrt{229}}{5}$

(2) PQの長さを求める。

直線EHの方程式を求める。E(4,12), H(12-8/5,0) = H(52/5, 0)

EHの傾き = (0-12) / (52/5 - 4) = -12 / (32/5) = -60/32 = -15/8

EHの方程式は、y = (-15/8)(x-52/5) = (-15/8)x + 39/2

直線FGの方程式を求める。F(8,12), G(12-12/5, 12) = G(48/5, 12)

FGの方程式は、y = 12

PはFGとEHの交点なので、

12 = (-15/8)x + 39/2

(15/8)x = 39/2 - 12 = (39-24)/2 = 15/2

x = (15/2) * (8/15) = 4

よって、P(4, 12)

直線BGの方程式を求める。B(0,12), G(48/5, 12)

BGの傾き = (0-12)/(12-48/5) = -12/(12/5) = -5

BGの方程式は、y - 12 = -5x

y = -5x + 12

QはBGとEHの交点なので、

-5x + 12 = (-15/8)x + 39/2

(-40/8)x + 96/8 = (-15/8)x + 156/8

25/8 x = 60/8

x = 60/25 = 12/5

y = -5(12/5) + 12 = -12+12 = 0

Q(12/5, 0)

PQ = sqrt((4-12/5)^2 + (12-0)^2) = sqrt((8/5)^2 + 12^2) = sqrt(64/25 + 144) = sqrt((64+3600)/25) = sqrt(3664/25) = 4sqrt(229) / 5

(3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

3. 最終的な答え

(1) EHの長さ: $\frac{4\sqrt{229}}{5}$ cm

(2) PQの長さ: $\frac{4\sqrt{229}}{5}$ cm

(3) 四角形PFBQの面積: 計算中