4桁の自然数について、千の位を $a$、百の位を $b$、十の位を $c$、一の位を $d$ とする。 (1) $a>b>c>d$ を満たす整数の個数を求める。 (2) $a \ge b > c > d$ を満たす整数の個数を求める。

1. 問題の内容

4桁の自然数について、千の位を $a$、百の位を $b$、十の位を $c$、一の位を $d$ とする。

(1) $a>b>c>d$ を満たす整数の個数を求める。

(2) $a \ge b > c > d$ を満たす整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ は $0$ から $9$ までの整数である。また、自然数なので $a \neq 0$ である。

条件より $a > b > c > d$ であるから、$a, b, c, d$ はすべて異なる。

$0 \le d < c < b < a \le 9$ なので、$0$ から $9$ までの10個の数字から相異なる4つの数字を選ぶと、その大小関係から $a, b, c, d$ が一意に決まる。

したがって、$_{10}C_4$ を計算すればよい。

$_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a \ge b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ は $0$ から $9$ までの整数である。また、自然数なので $a \neq 0$ である。

$a = b$ となる可能性があるので、$a=b=x$ とおくと、$x > c > d$ となる。

$a \ge b > c > d$ より、$9 \ge a \ge b > c > d \ge 0$。

この条件を満たす整数の個数を求める。

$a, b, c, d$ の中に同じ数字があっても良いが、$b>c>d$ という条件があるので、$b, c, d$ はすべて異なる。

$a \ge b$ なので、 $a$ と $b$ が同じ値をとる場合がある。

そこで、$b, c, d$ に加えて、もう一つの変数 $a'$ を導入し、 $a' = a + 1$ と定義する。

このとき、$10 \ge a' > b > c > d \ge 0$ が成り立つ。

したがって、$0$ から $10$ までの $11$ 個の整数から $4$ 個選ぶ選び方の数に等しい。

つまり、$_{11}C_4$ を計算すればよい。

$_{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 = 330$

3. 最終的な答え

(1) $210$ 個

(2) $330$ 個