円に内接する四角形ABCDがあり、AB=1, BC=2, CD=3, DA=4である。線分ACと線分BDが交わる点をEとする。 (1) ACの長さを求めよ。 (2) BDの長さを求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。 (4) AEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、AB=1, BC=2, CD=3, DA=4である。線分ACと線分BDが交わる点をEとする。

(1) ACの長さを求めよ。

(2) BDの長さを求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

(4) AEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ACの長さ

余弦定理を三角形ABCと三角形ADCに適用する。

$\angle ABC = \theta$とすると、$\angle ADC = 180^\circ - \theta$。

ACの長さを$x$とすると、

$x^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos \theta = 5 - 4 \cos \theta$

$x^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 25 + 24 \cos \theta$

よって、$5 - 4 \cos \theta = 25 + 24 \cos \theta$

$28 \cos \theta = -20$

$\cos \theta = -\frac{20}{28} = -\frac{5}{7}$

$x^2 = 5 - 4 \cdot (-\frac{5}{7}) = 5 + \frac{20}{7} = \frac{35+20}{7} = \frac{55}{7}$

$x = \sqrt{\frac{55}{7}} = \frac{\sqrt{385}}{7}$

(2) BDの長さ

トレミーの定理より、

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = \sqrt{\frac{55}{7}} \cdot BD$

$3 + 8 = \sqrt{\frac{55}{7}} \cdot BD$

$11 = \sqrt{\frac{55}{7}} \cdot BD$

$BD = \frac{11}{\sqrt{\frac{55}{7}}} = 11 \sqrt{\frac{7}{55}} = 11 \frac{\sqrt{385}}{55} = \frac{\sqrt{385}}{5}$

(3) 四角形ABCDの面積

四角形ABCDの面積Sは

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \theta + \frac{1}{2} AD \cdot CD \sin(180^\circ - \theta)$

$S = \frac{1}{2} (1 \cdot 2 + 4 \cdot 3) \sin \theta = \frac{1}{2} (2 + 12) \sin \theta = 7 \sin \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$S = 7 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 2\sqrt{6}$

(4) AEの長さ

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$より

$\frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE} = \frac{AB}{DC} = \frac{1}{3}$

$AE = \frac{AC}{1 + \frac{CE}{AE}} = \frac{AC}{1 + \frac{CE/BE}{AE/BE}} = \frac{AC}{1 + \frac{3}{1}}$

方べきの定理より $AE \cdot EC = BE \cdot ED$

$\frac{AE}{CD} = \frac{AB}{CE}$なので$CE = \frac{CD \cdot AB}{AE}$

$AE \cdot \frac{CD \cdot AB}{AE} = BE \cdot ED$

$CD \cdot AB = 3 \cdot 1 = 3$.

$AC = AE + EC$

$AE/CD = AB/CE$から$AE = \frac{AB*AC}{\sqrt(55/7)} = AE+3AE$

$AC = 4*AE$

トレミーの定理より

$AE*EC=BE*ED$

$\sqrt(55/7)=AE+EC$

$\sqrt(77/5)=BE+ED$

$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}=1/3$

だから $AE=AC/4$と$BE=BD/4$

$AE = \frac{\sqrt(55/7)}{4}= \frac{\sqrt{55}}{4\sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{11}}{4\sqrt{7*5}}= \frac{\sqrt{385}}{28}

\frac{AE*EC=BE*ED}{(\frac{\sqrt{55}}{2\sqrt{15}})^2}=9$

AE = $2 \sqrt{\frac{11}{35}}$

3. 最終的な答え

(1) ACの長さ: $\sqrt{\frac{55}{7}} = \frac{\sqrt{385}}{7}$

(2) BDの長さ: $\sqrt{\frac{77}{5}} = \frac{\sqrt{385}}{5}$

(3) 四角形ABCDの面積: $2\sqrt{6}$

(4) AEの長さ: $2\sqrt{\frac{11}{35}}$