次の方程式と不等式を解きます。 (1) $\sqrt[3]{9^x} = 3\sqrt[4]{9^x}$ (2) $9^{x+1} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$ (3) $2^{2x} - 2^{x+1} - 48 < 0$ (4) $32 (\frac{1}{4})^x - 18 (\frac{1}{2})^x + 1 \le 0$

1. 問題の内容

次の方程式と不等式を解きます。

(1) $\sqrt[3]{9^x} = 3\sqrt[4]{9^x}$

(2) $9^{x+1} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$

(3) $2^{2x} - 2^{x+1} - 48 < 0$

(4) $32 (\frac{1}{4})^x - 18 (\frac{1}{2})^x + 1 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{9^x} = 3\sqrt[4]{9^x}$ を解きます。

$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ なので、

$\sqrt[3]{3^{2x}} = 3\sqrt[4]{3^{2x}}$

$3^{\frac{2x}{3}} = 3 \cdot 3^{\frac{2x}{4}}$

$3^{\frac{2x}{3}} = 3^{1+\frac{x}{2}}$

$\frac{2x}{3} = 1 + \frac{x}{2}$

$4x = 6 + 3x$

$x = 6$

(2) $9^{x+1} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$ を解きます。

$9^{x+1} = 9^x \cdot 9^1 = (3^2)^x \cdot 9 = 9 \cdot (3^x)^2$

$3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$

$9 (3^x)^2 + 80 \cdot \frac{3^x}{3} - 1 = 0$

$27 (3^x)^2 + 80 \cdot 3^x - 3 = 0$

$3^x = t$ とおくと、

$27 t^2 + 80 t - 3 = 0$

$(27t - 1)(t + 3) = 0$

$t = \frac{1}{27}, -3$

$3^x = \frac{1}{27} = 3^{-3}$ または $3^x = -3$

$x = -3$

$3^x = -3$ となる $x$ は存在しないので、$x = -3$

(3) $2^{2x} - 2^{x+1} - 48 < 0$ を解きます。

$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 48 < 0$

$2^x = t$ とおくと、$t > 0$

$t^2 - 2t - 48 < 0$

$(t - 8)(t + 6) < 0$

$-6 < t < 8$

$t > 0$ より $0 < t < 8$

$0 < 2^x < 8 = 2^3$

$x < 3$

(4) $32 (\frac{1}{4})^x - 18 (\frac{1}{2})^x + 1 \le 0$ を解きます。

$32 (\frac{1}{2})^{2x} - 18 (\frac{1}{2})^x + 1 \le 0$

$(\frac{1}{2})^x = t$ とおくと、$t > 0$

$32 t^2 - 18 t + 1 \le 0$

$(4t - 1)(8t - 1) \le 0$

$\frac{1}{8} \le t \le \frac{1}{4}$

$\frac{1}{8} \le (\frac{1}{2})^x \le \frac{1}{4}$

$(\frac{1}{2})^3 \le (\frac{1}{2})^x \le (\frac{1}{2})^2$

$2 \le x \le 3$

3. 最終的な答え

(1) $x=6$

(2) $x=-3$

(3) $x<3$

(4) $2 \le x \le 3$