与えられた漸化式 $b_n = \frac{5}{6}b_{n-1} + \frac{1}{18}(\frac{1}{2})^{n-1}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $b_n = \frac{5}{6}b_{n-1} + \frac{1}{18}(\frac{1}{2})^{n-1}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を解くために、特性方程式を用いる方法を検討します。しかし、今回は右辺に $n$ に依存する項があるため、特性方程式をそのまま使うことはできません。そこで、特殊解を求めることを考えます。

特殊解を $b_n = c(\frac{1}{2})^n$ の形であると仮定します。これを漸化式に代入すると、

$c(\frac{1}{2})^n = \frac{5}{6} c(\frac{1}{2})^{n-1} + \frac{1}{18}(\frac{1}{2})^{n-1}$

両辺に $2^n$ をかけると、

$c = \frac{5}{6} c \cdot 2 + \frac{1}{18} \cdot 2$

$c = \frac{5}{3}c + \frac{1}{9}$

$-\frac{2}{3}c = \frac{1}{9}$

$c = -\frac{1}{6}$

したがって、特殊解は $b_n = -\frac{1}{6} (\frac{1}{2})^n$ となります。

次に、$b_n = a_n -\frac{1}{6}(\frac{1}{2})^n$ とおくと、漸化式は

$a_n -\frac{1}{6}(\frac{1}{2})^n = \frac{5}{6} \left( a_{n-1} -\frac{1}{6}(\frac{1}{2})^{n-1} \right) + \frac{1}{18}(\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n -\frac{1}{6}(\frac{1}{2})^n = \frac{5}{6} a_{n-1} -\frac{5}{36}(\frac{1}{2})^{n-1} + \frac{1}{18}(\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = \frac{5}{6} a_{n-1} -\frac{5}{18}(\frac{1}{2})^n + \frac{2}{18}(\frac{1}{2})^n + \frac{1}{6}(\frac{1}{2})^n$

$a_n = \frac{5}{6} a_{n-1}$

これは等比数列なので、$a_n = a_1 (\frac{5}{6})^{n-1}$ となります。

$b_n = a_n -\frac{1}{6}(\frac{1}{2})^n$ だったので、$a_n = b_n +\frac{1}{6}(\frac{1}{2})^n$ となります。

特に、$a_1 = b_1 + \frac{1}{6}(\frac{1}{2}) = b_1 + \frac{1}{12}$。したがって、

$a_n = (b_1 + \frac{1}{12}) (\frac{5}{6})^{n-1}$

$b_n + \frac{1}{6} (\frac{1}{2})^n = (b_1 + \frac{1}{12}) (\frac{5}{6})^{n-1}$

$b_n = (b_1 + \frac{1}{12}) (\frac{5}{6})^{n-1} - \frac{1}{6} (\frac{1}{2})^n$

3. 最終的な答え

$b_n = (b_1 + \frac{1}{12}) (\frac{5}{6})^{n-1} - \frac{1}{6} (\frac{1}{2})^n$