数列$\{a_n\}$が$a_1=0$, $a_{n+1}=3a_n+2$ ($n \ge 1$) で定義されている。$b_n=a_n-\alpha$（$\alpha$は定数）とおくとき、数列$\{b_n\}$が等比数列となるような$\alpha$の値を求め、$b_n$の一般項、$a_n$の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が$a_1=0$, $a_{n+1}=3a_n+2$ ($n \ge 1$) で定義されている。$b_n=a_n-\alpha$（$\alpha$は定数）とおくとき、数列$\{b_n\}$が等比数列となるような$\alpha$の値を求め、$b_n$の一般項、$a_n$の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = a_n - \alpha$とおくと、$b_{n+1}=a_{n+1}-\alpha$である。

$a_{n+1}=3a_n+2$より、$b_{n+1}=3a_n+2-\alpha$となる。

$b_n=a_n-\alpha$より、$a_n=b_n+\alpha$であるから、$b_{n+1}=3(b_n+\alpha)+2-\alpha=3b_n+2\alpha+2$となる。

$\{b_n\}$が等比数列となるためには、$b_{n+1}=3b_n$となれば良いので、$2\alpha+2=0$となる。

したがって、$\alpha=-1$。

(2) $\alpha=-1$のとき、$b_n=a_n+1$である。

$b_1=a_1+1=0+1=1$

$b_{n+1}=a_{n+1}+1=3a_n+2+1=3a_n+3=3(a_n+1)=3b_n$

数列$\{b_n\}$は初項1、公比3の等比数列であるから、$b_n=1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}$。

(3) $b_n=a_n+1$より、$a_n=b_n-1$である。

$b_n=3^{n-1}$であるから、$a_n=3^{n-1}-1$。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = -1$

(2) $b_n = 3^{n-1}$

(3) $a_n = 3^{n-1} - 1$