与えられた置換を互換の積で表し、その符号を求める問題です。具体的には、以下の2つの置換について解答します。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 1 & 6 & 2 & 5 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた置換を互換の積で表し、その符号を求める問題です。具体的には、以下の2つの置換について解答します。

(1) $

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\

3 & 5 & 4 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

(2) $

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\

3 & 4 & 1 & 6 & 2 & 5

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) の置換について

* 置換を巡回置換の積で表す：

1 → 3 → 4 → 1

2 → 5 → 2

よって、(1 3 4)(2 5)

* 巡回置換を互換の積で表す：

(1 3 4) = (1 4)(1 3)

(2 5) = (2 5)

* 全体の置換を互換の積で表す：

(1 3 4)(2 5) = (1 4)(1 3)(2 5)

* 符号を求める：

互換の数が3つなので、符号は (-1)^3 = -1

(2) の置換について

* 置換を巡回置換の積で表す：

1 → 3 → 1

2 → 4 → 6 → 5 → 2

よって、(1 3)(2 4 6 5)

* 巡回置換を互換の積で表す：

(1 3) = (1 3)

(2 4 6 5) = (2 5)(2 6)(2 4)

* 全体の置換を互換の積で表す：

(1 3)(2 4 6 5) = (1 3)(2 5)(2 6)(2 4)

* 符号を求める：

互換の数が4つなので、符号は (-1)^4 = 1

3. 最終的な答え

(1) の置換：

互換の積：(1 4)(1 3)(2 5)

符号：-1

(2) の置換：

互換の積：(1 3)(2 5)(2 6)(2 4)

符号：1