三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$であるとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$であるとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$b$の値を余弦定理を用いて求める。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$b^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cos 30^\circ$

$b^2 = 4 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4(1+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6$

$b^2 = 2$

$b = \sqrt{2}$

次に、正弦定理を用いて角$A$を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{1/2}$

$\sin A = \frac{2 \cdot (1/2)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$A = 45^\circ$ または $A = 135^\circ$

もし、$A = 135^\circ$であれば、$A + B = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ$なので、$C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$となる。このとき、$c = 1+\sqrt{3} > a = 2$ となり、角$C$が角$A$より小さくなるのは矛盾しない。

もし、$A = 45^\circ$であれば、$A + B = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$なので、$C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$となる。このとき、$c > a$ なので、$C > A$ となる必要があり、$105^\circ > 45^\circ$ なので、矛盾しない。

$A=45^\circ$のとき，$a=2$，$b=\sqrt{2}$，$c=1+\sqrt{3}$より、$c$が一番大きいので$C=105^\circ$である。

したがって、$A=45^\circ$

最後に、$C = 180^\circ - (A+B) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$b = \sqrt{2}$

$A = 45^\circ$

$C = 105^\circ$