四面体ABCDにおいて、$AB=AC=3$, $\angle BAC=90^\circ$, $AD=2$, $BD=CD=\sqrt{7}$である。辺AB上に点P, 辺AC上に点Q, 辺AD上に点Rを、$AP=AQ=DR=t$ ($0 < t < 2$)となるようにとる。辺BCの中点をMとし、線分AMと線分PQの交点をHとするとき、$HR^2$を$t$を用いて表す問題を解く。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AB=AC=3$, $\angle BAC=90^\circ$, $AD=2$, $BD=CD=\sqrt{7}$である。辺AB上に点P, 辺AC上に点Q, 辺AD上に点Rを、$AP=AQ=DR=t$ ($0 < t < 2$)となるようにとる。辺BCの中点をMとし、線分AMと線分PQの交点をHとするとき、$HR^2$を$t$を用いて表す問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$において、点Mは辺BCの中点なので、AMは中線である。また、$AB=AC=3$かつ$\angle BAC=90^\circ$より、$\triangle ABC$は直角二等辺三角形なので、$AM$は$\angle BAC$の二等分線である。したがって、$\angle BAM = \angle CAM = 45^\circ$である。

次に、$\vec{AP} = \frac{t}{3} \vec{AB}$、$\vec{AQ} = \frac{t}{3} \vec{AC}$より、$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{t}{3} (\vec{AC} - \vec{AB})$である。

点Hは線分AM上にあるので、ある実数$k$を用いて$\vec{AH} = k \vec{AM}$と表せる。

また、MはBCの中点なので、$\vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC})$である。

したがって、$\vec{AH} = \frac{k}{2} (\vec{AB} + \vec{AC})$である。

また、点Hは線分PQ上にあるので、ある実数$s$を用いて$\vec{AH} = \vec{AP} + s \vec{PQ}$と表せる。

$\vec{AH} = \frac{t}{3} \vec{AB} + s \frac{t}{3} (\vec{AC} - \vec{AB}) = (\frac{t}{3} - \frac{st}{3}) \vec{AB} + \frac{st}{3} \vec{AC}$

よって、$\frac{k}{2} = \frac{t}{3} - \frac{st}{3}$かつ$\frac{k}{2} = \frac{st}{3}$

したがって、$\frac{t}{3} - \frac{st}{3} = \frac{st}{3}$より、$\frac{t}{3} = \frac{2st}{3}$

よって、$s = \frac{1}{2}$

ゆえに、$\frac{k}{2} = \frac{t}{6}$より、$k = \frac{t}{3}$

したがって、$\vec{AH} = \frac{t}{3} \vec{AM} = \frac{t}{6} (\vec{AB} + \vec{AC})$

$\vec{AR} = t \vec{a}$のような単位ベクトル$\vec{a}$は存在しないので、$\vec{AD}$で考えた方がよさそうです。

$\vec{HR} = \vec{AR} - \vec{AH} = t \vec{u} - \frac{t}{6}(\vec{AB} + \vec{AC})$. ここで、$\vec{u}$は、$\vec{AD}/2$の単位ベクトルです。

$AP=AQ=DR=t$であるから、$\vec{AP}=\frac{t}{3}\vec{AB}$, $\vec{AQ}=\frac{t}{3}\vec{AC}$, $\vec{AR}=\frac{t}{2}\vec{AD}$.

したがって、$\vec{HR}=\vec{AR}-\vec{AH} = \frac{t}{2}\vec{AD}-\frac{t}{6}(\vec{AB}+\vec{AC})$

$HR^2=|\vec{HR}|^2 = \left| \frac{t}{2}\vec{AD} - \frac{t}{6}\vec{AB} - \frac{t}{6}\vec{AC} \right|^2 = \frac{t^2}{36}|3\vec{AD}-\vec{AB}-\vec{AC}|^2$

$|3\vec{AD}-\vec{AB}-\vec{AC}|^2 = |3\vec{AD}|^2 + |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2(3\vec{AD}\cdot\vec{AB} + 3\vec{AD}\cdot\vec{AC} + \vec{AB}\cdot\vec{AC})$

$= 36+9+9 - 2(0+0+0) = 54$

したがって、$HR^2=\frac{t^2}{36}\times 54 = \frac{3}{2} t^2$

3. 最終的な答え

$HR^2 = \frac{3}{2}t^2$なので、

エ=3, オ=2, カ=0, キ=0 となります。

$HR^2 = \frac{3}{2}t^2 - 0t + 0$