四面体ABCDにおいて、$AB = AC = 3$, $\angle BAC = 90^\circ$, $AD = 2$, $BD = CD = \sqrt{7}$である。辺AB上に点P、辺AC上に点Q、辺AD上に点Rを、$AP = AQ = DR = t (0 < t < 2)$となるようにとる。辺BCの中点をM、線分AMと線分PQの交点をHとする。このとき、$HR^2$を$t$を用いて表し、$HR^2 = \frac{\text{エ}}{\text{オ}} t^2 - \text{カ} t + \text{キ}$となるような空欄を埋める問題である。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AB = AC = 3$, $\angle BAC = 90^\circ$, $AD = 2$, $BD = CD = \sqrt{7}$である。辺AB上に点P、辺AC上に点Q、辺AD上に点Rを、$AP = AQ = DR = t (0 < t < 2)$となるようにとる。辺BCの中点をM、線分AMと線分PQの交点をHとする。このとき、$HR^2$を$t$を用いて表し、$HR^2 = \frac{\text{エ}}{\text{オ}} t^2 - \text{カ} t + \text{キ}$となるような空欄を埋める問題である。

2. 解き方の手順

まず、座標を設定する。Aを原点とし、B(3, 0, 0), C(0, 3, 0), D(0, 0, 2)とする。すると、P(t, 0, 0), Q(0, t, 0), R(0, 0, 2-t)となる。

次に、MはBCの中点なので、$M = \left(\frac{3+0}{2}, \frac{0+3}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$である。

直線AMの式を求める。AMベクトルは$M - A = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$なので、直線AMは$\vec{p} = k\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right) = \left(\frac{3k}{2}, \frac{3k}{2}, 0\right)$と表せる。

直線PQの式を求める。PQベクトルは$Q - P = (-t, t, 0)$なので、直線PQは$\vec{q} = P + s(Q-P) = (t, 0, 0) + s(-t, t, 0) = (t - st, st, 0)$と表せる。

HはAMとPQの交点なので、$\left(\frac{3k}{2}, \frac{3k}{2}, 0\right) = (t - st, st, 0)$が成り立つ。

よって、$\frac{3k}{2} = t - st$かつ$\frac{3k}{2} = st$である。これより、$t - st = st$なので、$t = 2st$となり、$s = \frac{1}{2}$となる。

すると、$H = (t - st, st, 0) = \left(\frac{t}{2}, \frac{t}{2}, 0\right)$となる。

$R = (0, 0, 2-t)$なので、$HR^2 = \left(\frac{t}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{t}{2} - 0\right)^2 + (0 - (2-t))^2 = \frac{t^2}{4} + \frac{t^2}{4} + (t-2)^2 = \frac{t^2}{2} + t^2 - 4t + 4 = \frac{3}{2} t^2 - 4t + 4$である。

よって、$HR^2 = \frac{3}{2}t^2 - 4t + 4$となる。

3. 最終的な答え

$\text{エ} = 3, \text{オ} = 2, \text{カ} = 4, \text{キ} = 4$

$HR^2 = \frac{3}{2} t^2 - 4 t + 4$