与えられた2つの行列が正則であるかどうかを調べ、正則である場合は逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列が正則であるかどうかを調べ、正則である場合は逆行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) の行列

行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ の正則性を調べるために、行列式を計算します。

$\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-2)(1) - (-3)(0)) = -2$

$\det(A) = -2 \neq 0$ なので、$A$ は正則です。

次に、逆行列を求めます。余因子行列を求めます。

$C_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -9 - 1 = -10$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -(-6 - 0) = 6$

$C_{13} = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = 0 - (-3) = 3$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - (-2)) = -2$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0$

余因子行列は $C = \begin{bmatrix} -10 & 6 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

転置行列は $C^T = \begin{bmatrix} -10 & 1 & 3 \\ 6 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -10 & 1 & 3 \\ 6 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -1/2 & -3/2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) の行列

行列 $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}$ の正則性を調べるために、行列式を計算します。

行列式の計算は省略します。簡約化により求めると、$\det(B)=0$となります。

$\det(B) = 0$ なので、$B$ は正則ではありません。

3. 最終的な答え

(1) の行列は正則であり、逆行列は $A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -1/2 & -3/2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ です。

(2) の行列は正則ではありません。