双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のグラフが、2直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る時、$y$ を $x$ で表す式を求める。

1. 問題の内容

双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のグラフが、2直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る時、$y$ を $x$ で表す式を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸近線の情報から、関数を以下のように変形できる。

$$y = \frac{a(x-2) + k}{c(x-2)} - 1$$

ここで、$a, c, k$ は定数である。さらに整理すると、

$$y = \frac{ax-2a+k}{cx-2c} - 1 = \frac{ax-2a+k-cx+2c}{cx-2c} = \frac{(a-c)x+(2c-2a+k)}{cx-2c}$$

漸近線が $y = -1$ であることから、 $y = \frac{a}{c}$ が成り立つ。しかし、これは漸近線が $y=-1$ であることと矛盾しないため、以下のように変形する。

与えられた関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ を変形すると、

$$y = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cx+d)}$$

$x=2$ が漸近線であることから、$cx+d=0$ となる $x$ が $2$ なので、$2c+d=0$。つまり、$d=-2c$ である。

$y=-1$ が漸近線であることから、$\frac{a}{c} = -1$。つまり、$a = -c$ である。

したがって、$y = \frac{-cx+b}{cx-2c}$ となる。

この関数が点 $(3, 2)$ を通ることから、$x=3, y=2$ を代入すると、

$$2 = \frac{-3c+b}{3c-2c} = \frac{-3c+b}{c}$$

これにより、$2c = -3c+b$ となり、$b=5c$ を得る。

よって、$y = \frac{-cx+5c}{cx-2c} = \frac{-x+5}{x-2}$ となる。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$