2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

漸近線が $x=3$ および $y=2$ であることから、関数は次のように表せます。

$y = \frac{a(x-3) + 2(cx+d)}{c(x-3) + d}$

$y = \frac{ax-3a+2cx+2d}{cx-3c+d}$

$y = \frac{(a+2c)x + (2d-3a)}{cx+(d-3c)}$

したがって、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形と比較すると、次のようになります。

$a = a+2c$

$b = 2d-3a$

$c = c$

$d = d-3c$

これより、

$a = a+2c$ より $2c = 0$ なので、$c=0$

$d = d-3c$ より $3c = 0$ なので、$c=0$

従って、

$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のとき、漸近線が $x=3$ となるためには、$cx+d=0$ すなわち $x = -\frac{d}{c} = 3$ でなければなりません。$y=2$ を漸近線とするには、$\frac{a}{c} = 2$ でなければなりません。ここで、cは0ではないので、$y = \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = 2 + \frac{k}{x-3}$という形になるはずです（ただし、$k$は定数）。

したがって、$y = 2 + \frac{k}{x-3}$ と表せます。

点 $(1,1)$ を通ることから、

$1 = 2 + \frac{k}{1-3}$

$1 = 2 + \frac{k}{-2}$

$-1 = \frac{k}{-2}$

$k = 2$

したがって、$y = 2 + \frac{2}{x-3} = \frac{2(x-3)+2}{x-3} = \frac{2x-6+2}{x-3} = \frac{2x-4}{x-3}$

$y = \frac{2x-4}{x-3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$