$\log_2 \frac{1}{3}$, $2$, $\log_2 7$ の値を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\log_2 \frac{1}{3}$, $2$, $\log_2 7$ の値を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの値を比較しやすいように、底が2の対数で表すことを試みます。

* $2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$

次に、対数の性質を利用して大小を比較します。

対数関数 $y = \log_a x$ は、$a > 1$ のとき単調増加関数であるため、真数の大小関係と対数の大小関係は一致します。つまり、$x < y$ ならば $\log_a x < \log_a y$ が成り立ちます。

* $\frac{1}{3} < 1$ なので、$\log_2 \frac{1}{3} < \log_2 1 = 0$

* $4 < 7$ なので、$\log_2 4 < \log_2 7$

* よって、$\log_2 \frac{1}{3} < 0 < \log_2 4 < \log_2 7$

したがって、$\log_2 \frac{1}{3} < 2 < \log_2 7$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_2 \frac{1}{3}, 2, \log_2 7$