与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。放物線の方程式は $y=ax^2+bx+c$ または標準形のいずれかで答えます。 (1) 頂点が $(1, 1)$ で、点 $(0, -1)$ を通る。 (2) 頂点が $y$ 軸上にあり、2点 $(1, 2)$, $(2, -7)$ を通る。 (3) 3点 $(-1, 4)$, $(1, -4)$, $(3, -4)$ を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。放物線の方程式は $y=ax^2+bx+c$ または標準形のいずれかで答えます。

(1) 頂点が $(1, 1)$ で、点 $(0, -1)$ を通る。

(2) 頂点が $y$ 軸上にあり、2点 $(1, 2)$, $(2, -7)$ を通る。

(3) 3点 $(-1, 4)$, $(1, -4)$, $(3, -4)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(1, 1)$ であるから、放物線の方程式は $y = a(x-1)^2 + 1$ と表せる。

点 $(0, -1)$ を通ることから、

$-1 = a(0-1)^2 + 1$

$-1 = a + 1$

$a = -2$

よって、放物線の方程式は $y = -2(x-1)^2 + 1 = -2(x^2 - 2x + 1) + 1 = -2x^2 + 4x - 2 + 1 = -2x^2 + 4x - 1$

(2) 頂点が $y$ 軸上にあるから、頂点の $x$ 座標は $0$ である。

したがって、頂点の座標を $(0, k)$ とおくと、放物線の方程式は $y = a(x-0)^2 + k = ax^2 + k$ と表せる。

点 $(1, 2)$ を通ることから、

$2 = a(1)^2 + k$

$2 = a + k$ ...(i)

点 $(2, -7)$ を通ることから、

$-7 = a(2)^2 + k$

$-7 = 4a + k$ ...(ii)

(ii) - (i) より、

$-7 - 2 = 4a - a + k - k$

$-9 = 3a$

$a = -3$

(i) に代入すると、

$2 = -3 + k$

$k = 5$

よって、放物線の方程式は $y = -3x^2 + 5$

(3) 3点 $(-1, 4)$, $(1, -4)$, $(3, -4)$ を通ることから、放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおくと、

$4 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$4 = a - b + c$ ...(i)

$-4 = a(1)^2 + b(1) + c$

$-4 = a + b + c$ ...(ii)

$-4 = a(3)^2 + b(3) + c$

$-4 = 9a + 3b + c$ ...(iii)

(i) + (ii) より、

$4 - 4 = a + a - b + b + c + c$

$0 = 2a + 2c$

$a = -c$ ...(iv)

(ii) - (iii) より、

$-4 - (-4) = a - 9a + b - 3b + c - c$

$0 = -8a - 2b$

$b = -4a$ ...(v)

(ii) に (iv), (v) を代入すると、

$-4 = a + (-4a) + (-a)$

$-4 = a - 4a - a$

$-4 = -4a$

$a = 1$

(iv), (v) より、

$c = -1$

$b = -4$

よって、放物線の方程式は $y = x^2 - 4x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 4x - 1$

(2) $y = -3x^2 + 5$

(3) $y = x^2 - 4x - 1$