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与えられた行列が正則（すなわち、逆行列を持つ）かどうかを判定し、もし正則であれば逆行列を求めます。

代数学線形代数行列逆行列行列式余因子行列
2025/7/30

1. 問題の内容

与えられた行列が正則（すなわち、逆行列を持つ）かどうかを判定し、もし正則であれば逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A=[001−2−31013]A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} について考えます。
行列式を計算します。
det(A)=0⋅∣−3113∣−0⋅∣−2103∣+1⋅∣−2−301∣=1⋅((−2)(1)−(−3)(0))=−2det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-2)(1) - (-3)(0)) = -2
行列式が0でないので、行列Aは正則です。
逆行列を求めるために、余因子行列を計算します。
C11=(−3)(3)−(1)(1)=−10C_{11} = (-3)(3) - (1)(1) = -10
C12=−((−2)(3)−(1)(0))=6C_{12} = -((-2)(3) - (1)(0)) = 6
C13=(−2)(1)−(−3)(0)=−2C_{13} = (-2)(1) - (-3)(0) = -2
C21=−(0(3)−1(1))=1C_{21} = -(0(3) - 1(1)) = 1
C22=(0)(3)−(1)(0)=0C_{22} = (0)(3) - (1)(0) = 0
C23=−(0(1)−0(0))=0C_{23} = -(0(1) - 0(0)) = 0
C31=(0)(1)−(1)(−3)=3C_{31} = (0)(1) - (1)(-3) = 3
C32=−(0(1)−(1)(−2))=−2C_{32} = -(0(1) - (1)(-2)) = -2
C33=(0)(−3)−(0)(−2)=0C_{33} = (0)(-3) - (0)(-2) = 0
余因子行列は C=[−106−21003−20]C = \begin{bmatrix} -10 & 6 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix} です。
転置行列は CT=[−101360−2−200]C^T = \begin{bmatrix} -10 & 1 & 3 \\ 6 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} です。
逆行列は A−1=1det(A)CT=1−2[−101360−2−200]=[5−1/2−3/2−301100]A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -10 & 1 & 3 \\ 6 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -1/2 & -3/2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
(2) 行列 B=[32011013−411213−2−1]B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & -1 \end{bmatrix} について考えます。
行列式を計算します。
det(B)=3∣0131123−2−1∣−2∣113−4121−2−1∣+0∣103−41213−1∣−1∣101−41113−2∣det(B) = 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}
=3(0(1(−1)−2(−2))−1(1(−1)−2(3))+3(1(−2)−1(3)))−2(1(1(−1)−2(−2))−1(−4(−1)−2(1))+3(−4(−2)−1(1)))−1(1(1(−2)−1(3))−0(−4(−2)−1(1))+1(−4(3)−1(1)))= 3(0(1(-1) - 2(-2)) - 1(1(-1) - 2(3)) + 3(1(-2) - 1(3))) - 2(1(1(-1) - 2(-2)) - 1(-4(-1) - 2(1)) + 3(-4(-2) - 1(1))) - 1(1(1(-2) - 1(3)) - 0(-4(-2) - 1(1)) + 1(-4(3) - 1(1)))
=3(0(3)−1(−7)+3(−5))−2(1(3)−1(2)+3(7))−1(1(−5)−0(7)+1(−13))= 3(0(3) - 1(-7) + 3(-5)) - 2(1(3) - 1(2) + 3(7)) - 1(1(-5) - 0(7) + 1(-13))
=3(7−15)−2(3−2+21)−1(−5−13)= 3(7 - 15) - 2(3 - 2 + 21) - 1(-5 - 13)
=3(−8)−2(22)−(−18)= 3(-8) - 2(22) - (-18)
=−24−44+18=−50= -24 - 44 + 18 = -50
行列式が0でないので、行列Bは正則です。
逆行列を求めるのは計算が大変なので、ここでは省略します。必要であれば、掃き出し法などを用いて計算できます。

3. 最終的な答え

(1) 行列は正則であり、逆行列は A−1=[5−1/2−3/2−301100]A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -1/2 & -3/2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} です。
(2) 行列は正則であり、逆行列は存在しますが、ここでは計算を省略します。

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