$\sqrt{3} + 2$ は係数が整数の2次方程式 $A = 0$ の解である。 $f(x) = 2x^2 - 9x + 3$ とするとき、$f(\sqrt{3} + 2) = B$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{3} + 2$ は係数が整数の2次方程式 $A = 0$ の解である。

$f(x) = 2x^2 - 9x + 3$ とするとき、$f(\sqrt{3} + 2) = B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{3} + 2$ とおく。

$\sqrt{3} = x - 2$

両辺を2乗すると、

$3 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

したがって、$A = x^2 - 4x + 1$

次に、$f(\sqrt{3} + 2)$ を計算する。

$f(x) = 2x^2 - 9x + 3$

$f(\sqrt{3} + 2) = 2(\sqrt{3} + 2)^2 - 9(\sqrt{3} + 2) + 3$

$= 2(3 + 4\sqrt{3} + 4) - 9\sqrt{3} - 18 + 3$

$= 2(7 + 4\sqrt{3}) - 9\sqrt{3} - 15$

$= 14 + 8\sqrt{3} - 9\sqrt{3} - 15$

$= -1 - \sqrt{3}$

したがって、$B = -1 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$A = x^2 - 4x + 1$

$B = -1 - \sqrt{3}$