PQ=10、∠AQB=150°のとき、ABの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

PQ=10、∠AQB=150°のとき、ABの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AQとBQの長さを求めます。

∠PAQ=30°、∠PBQ=45°、PQ=10より、

$AQ = \frac{PQ}{\tan 30^\circ} = \frac{10}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 10\sqrt{3}$

$BQ = PQ = 10$

次に、余弦定理を用いてABの長さを求めます。余弦定理は以下の通りです。

$AB^2 = AQ^2 + BQ^2 - 2 \cdot AQ \cdot BQ \cdot \cos∠AQB$

問題文より∠AQB=150°なので、$\cos{150^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となります。

したがって、

$AB^2 = (10\sqrt{3})^2 + 10^2 - 2 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 10 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AB^2 = 300 + 100 + 300$

$AB^2 = 700$

$AB = \sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = 10\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$AB = 10\sqrt{7}$