次の式を計算します。 $(15 - 2\sqrt{5}) \div \sqrt{5} - (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 4)$

代数学根号式の計算有理化

2025/7/30

1. 問題の内容

次の式を計算します。

(15 - 2\sqrt{5}) \div \sqrt{5} - (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 4)

2. 解き方の手順

まず、

(15 - 2\sqrt{5}) \div \sqrt{5}

を計算します。

\frac{15 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} - 2 = 3\sqrt{5} - 2

次に、

(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 4)

を計算します。

(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 4) = (\sqrt{5})^2 - 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 8 = 5 - 2\sqrt{5} - 8 = -3 - 2\sqrt{5}

したがって、

(15 - 2\sqrt{5}) \div \sqrt{5} - (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 4) = (3\sqrt{5} - 2) - (-3 - 2\sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 2 + 3 + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} + 1

3. 最終的な答え

5\sqrt{5} + 1

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