自然数からなる数列 $\{a_n\}$ を群に分ける。第 $m$ 群には $(2m-1)$ 個の自然数が含まれ、第 $m$ 群の $k$ 番目の自然数は $m \cdot 2^{k-1}$ である。第 $m$ 群のすべての自然数の和を $T_m$ とする。 (1) $a_{70}$ を求めよ。 (2) $a_n = 24$ となる $n$ をすべて求めよ。 (3) $T_m$ を $m$ を用いて表せ。 (4) 第1群から第 $m$ 群までのすべての自然数の和 $S_m = \sum_{i=1}^m T_i$ を $m$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

自然数からなる数列 $\{a_n\}$ を群に分ける。第 $m$ 群には $(2m-1)$ 個の自然数が含まれ、第 $m$ 群の $k$ 番目の自然数は $m \cdot 2^{k-1}$ である。第 $m$ 群のすべての自然数の和を $T_m$ とする。

(1) $a_{70}$ を求めよ。

(2) $a_n = 24$ となる $n$ をすべて求めよ。

(3) $T_m$ を $m$ を用いて表せ。

(4) 第1群から第 $m$ 群までのすべての自然数の和 $S_m = \sum_{i=1}^m T_i$ を $m$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_{70}$ を求める。

第 $m$ 群までの項数の合計を $N_m$ とすると、

$N_m = \sum_{i=1}^m (2i-1) = 2 \sum_{i=1}^m i - \sum_{i=1}^m 1 = 2 \frac{m(m+1)}{2} - m = m(m+1) - m = m^2$

$8^2 = 64$ であり、$9^2 = 81$ であるから、$a_{70}$ は第9群にある。

$70 - 64 = 6$ より、$a_{70}$ は第9群の6番目の数である。

よって、$a_{70} = 9 \cdot 2^{6-1} = 9 \cdot 2^5 = 9 \cdot 32 = 288$

(2) $a_n = 24$ となる $n$ をすべて求める。

$a_n = 24$ が第 $m$ 群の $k$ 番目にあるとすると、$24 = m \cdot 2^{k-1}$ である。

$m=1$ のとき、$2^{k-1} = 24$ となる整数 $k$ は存在しない。

$m=2$ のとき、$2^{k-1} = 12$ となる整数 $k$ は存在しない。

$m=3$ のとき、$2^{k-1} = 8 = 2^3$ より、$k-1 = 3$ なので、$k=4$。

$m=4$ のとき、$2^{k-1} = 6$ となる整数 $k$ は存在しない。

$m=6$ のとき、$2^{k-1} = 4 = 2^2$ より、$k-1 = 2$ なので、$k=3$。

$m=8$ のとき、$2^{k-1} = 3$ となる整数 $k$ は存在しない。

$m=12$ のとき、$2^{k-1} = 2$ より、$k-1 = 1$ なので、$k=2$。

$m=24$ のとき、$2^{k-1} = 1$ より、$k-1 = 0$ なので、$k=1$。

$a_n = 24$ となるのは、第3群の4番目、第6群の3番目、第12群の2番目、第24群の1番目。

第 $m$ 群の項数の合計は $2m-1$ である。

第2群までの項数の合計は $1+3 = 4$ である。

第5群までの項数の合計は $1+3+5+7+9 = 25$ である。

第11群までの項数の合計は $\sum_{i=1}^{11} (2i-1) = 11^2 = 121$ である。

第23群までの項数の合計は $23^2 = 529$ である。

よって、$a_n = 24$ となる $n$ は、

$n = (1^2)+3 = 3+4-1=6$ のとき$a_6=24$, $n = 3+3-1 = 5$,

$n = (23^2)+1 = 529+1 = 530$, $n=(11^2)+2 = 123$

$a_6 = 3 \cdot 2^{4-1}=3\cdot 8 = 24$となる時の番号は$n = N_2+4 = 1^2 + 3 + 4 = 4+4= 7-1=6$

$a_n=24=6\cdot 2^{3-1}$のとき $n= N_5 +3= N_5+3=5^2 +3 =25+3 =28$

a_{28} =6\cdot 2^{2}=28, {5^2=25

第12群の2番目なので、$n=11^2+2= 121+2=123$

第24群の1番目なので、$n=23^2+1= 529+1=530$

よって、$n=6, 28, 123, 530$

(3) $T_m$ を $m$ を用いて表す。

$T_m = \sum_{k=1}^{2m-1} m \cdot 2^{k-1} = m \sum_{k=1}^{2m-1} 2^{k-1} = m \sum_{k=0}^{2m-2} 2^k = m \cdot \frac{1-2^{2m-1}}{1-2} = m (2^{2m-1}-1)$

(4) $S_m = \sum_{i=1}^m T_i$ を $m$ を用いて表す。

$S_m = \sum_{i=1}^m i(2^{2i-1}-1) = \sum_{i=1}^m i \cdot 2^{2i-1} - \sum_{i=1}^m i$

$\sum_{i=1}^m i = \frac{m(m+1)}{2}$

$S_m = \sum_{i=1}^m i \cdot 2^{2i-1} - \frac{m(m+1)}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_{70} = 288$

(2) $n = 6, 28, 123, 530$

(3) $T_m = m(2^{2m-1}-1)$

(4) $S_m = \sum_{i=1}^m i \cdot 2^{2i-1} - \frac{m(m+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^m i 2^{2i-1} = \sum_{i=1}^m i4^{i-1} \cdot 2$

= $\frac{2}{9}[(2m-1)4^m +1 ]$

従って、$S_m =\frac{2}{9}[(2m-1)4^m +1 ] - \frac{m(m+1)}{2}$.