$2 + \sqrt{3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $b$ の値を求めよ。 (2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2 + \sqrt{3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $b$ の値を求めよ。

(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ の値について考える。$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$2 + 1 < 2 + \sqrt{3} < 2 + 2$、つまり $3 < 2 + \sqrt{3} < 4$。

したがって、$2 + \sqrt{3}$ の整数部分 $a$ は $3$ である。

小数部分 $b$ は、$b = (2 + \sqrt{3}) - a = 2 + \sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 1$。

よって、$b = \sqrt{3} - 1$。

(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ を計算する。$a = 3$、$b = \sqrt{3} - 1$ であるから、

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$

$\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ を有理化すると、

$\frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2 + 3(\sqrt{3} + 1)}{6} = \frac{2 + 3\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{3\sqrt{3} + 5}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $b = \sqrt{3} - 1$ (ウ)

(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3\sqrt{3} + 5}{6}$ (ウ)