長いすが何脚かあり、生徒が全員座れるようにする。1脚に10人ずつ座ると2人分の席が余る。1脚に11人ずつ座ると10人分の席が余る。長いすの脚数と生徒の人数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

長いすが何脚かあり、生徒が全員座れるようにする。1脚に10人ずつ座ると2人分の席が余る。1脚に11人ずつ座ると10人分の席が余る。長いすの脚数と生徒の人数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

長いすの脚数を $x$ とする。

生徒の人数は、1脚に10人ずつ座ると2人分の席が余ることから、$10x+22$人と表せる。

1脚に11人ずつ座ると10人分の席が余る、という部分を「長いすの数」に関する式に変換する必要がある。

いま、$x$脚の長椅子がある状態を考える。生徒の人数は$10x+22$人である。ここに$11$人ずつ座らせていくと、長椅子は埋まっていく。最終的に$10$席余るのだから、$x$脚すべてが埋まっているわけではない。

仮に全員が$11$人ずつ座ったとすると、$11x$席必要になる。しかし実際には$10x+22$人しかいないので、 $11x - (10x+22) = x-22$ 席分の余裕がある。

これが10席分なので、$x-22 < 10$ という式を立ててしまうと間違いである。なぜなら、余る席というのは「誰も座っていない」席なのである。全員が座った状態で10席余るということは、空席が10席以上ある、ということを意味する。10席とは言っても、椅子に誰も座っていない状況は、1脚しかないかもしれない。

正確な言い方をすると、「1脚に11人ずつ座らせると、最後の長椅子には1人以上11人以下の人数が座ることになる」

最後の長椅子に座る人数を$y$人とすると($1 \le y \le 11$)、生徒の人数について、以下の式が成り立つ：

$11(x-1)+y = 10x+22$

$11x-11+y = 10x+22$

$x+y = 33$

$y = 33-x$

$1 \le y \le 11$ に代入すると

$1 \le 33-x \le 11$

$-32 \le -x \le -22$

$22 \le x \le 32$

もし余る席が2人分だったら、余っている長椅子は1脚か2脚か、というように場合分けする必要がある。ここでは、余る席が10席分なので、この情報を使って長椅子の数を正確に計算することができる。

もし最後の長椅子に11人座っているとすると、席は$11x$個ある。しかし実際には$10x+22$人しかいないので、$11x-(10x+22) = x-22$ 席余っていることになる。

これが10席なので、$x-22=10$より、$x=32$

生徒の人数は$10x+22=10 \times 32 + 22 = 320 + 22 = 342$人

確認のため、$11x$に代入する。

$11 \times 32 = 352$ 席

352 - 342 = 10 席余る

3. 最終的な答え

長いすの脚数：32脚

生徒の人数：342人