問題は、直線の方程式と一次関数の様々な条件に関する問題です。具体的には、直線の方程式を求めたり、平行移動や対称移動した直線の方程式を求めたり、一次関数のグラフに関する条件から式を求めたり、変域に関する条件から係数を求めたりします。

1. 問題の内容

問題は、直線の方程式と一次関数の様々な条件に関する問題です。具体的には、直線の方程式を求めたり、平行移動や対称移動した直線の方程式を求めたり、一次関数のグラフに関する条件から式を求めたり、変域に関する条件から係数を求めたりします。

2. 解き方の手順

6. (1) 直線 $l$ の式を求めます。

直線 $l$ は、点A(3,0)と点B(0,2)を通るので、傾きは $\frac{2-0}{0-3} = -\frac{2}{3}$ です。

y切片は2なので、直線 $l$ の式は $y = -\frac{2}{3}x + 2$ です。

6. (2) 直線 $l$ とy軸について対称な直線の式を求めます。

$y = -\frac{2}{3}x + 2$ をy軸について対称移動すると、$x$ を $-x$ に置き換えます。

よって、$y = -\frac{2}{3}(-x) + 2 = \frac{2}{3}x + 2$ です。

6. (3) 直線 $l$ とx軸について対称な直線の式を求めます。

$y = -\frac{2}{3}x + 2$ をx軸について対称移動すると、$y$ を $-y$ に置き換えます。

よって、$-y = -\frac{2}{3}x + 2$ となり、$y = \frac{2}{3}x - 2$ です。

6. (4) 直線 $l$ と平行で、点(6, -4)を通る直線の式を求めます。

直線 $l$ と平行なので、傾きは $-\frac{2}{3}$ です。

求める直線の式を $y = -\frac{2}{3}x + b$ とおき、点(6, -4)を通るので、

$-4 = -\frac{2}{3}(6) + b$

$-4 = -4 + b$

$b = 0$

よって、$y = -\frac{2}{3}x$ です。

6. (5) 直線 $l$ をy軸の負の方向に2だけ平行移動した直線の式を求めます。

$y = -\frac{2}{3}x + 2$ をy軸の負の方向に2だけ平行移動すると、定数項から2を引きます。

よって、$y = -\frac{2}{3}x + 2 - 2 = -\frac{2}{3}x$ です。

6. (6) 点P($\frac{3}{2}$, $a$)が直線上 $l$ にあるとき、$a$ の値を求めます。

直線 $l$ の式は $y = -\frac{2}{3}x + 2$ なので、$x = \frac{3}{2}$ を代入すると、

$a = -\frac{2}{3}(\frac{3}{2}) + 2 = -1 + 2 = 1$ です。

7. (1) グラフが $y = \frac{1}{3}x$ のグラフと平行で、直線 $y = x - 5$ とy軸上で交わる1次関数の式を求めます。

$y=x-5$ とy軸上で交わるということは、$y$切片が$-5$なので、$y = \frac{1}{3}x - 5$ です。

8. (2) グラフが $y = -2x - 3$ と平行で、点(4, 4)を通る1次関数の式を求めます。

傾きは $-2$ なので、$y = -2x + b$ とおきます。

点(4, 4)を通るので、$4 = -2(4) + b$

$4 = -8 + b$

$b = 12$

よって、$y = -2x + 12$ です。

9. (3) xの増加量が4のときのyの増加量が-3で、$x = 8$のとき$y = 3$になる1次関数の式を求めます。

傾きは $\frac{-3}{4}$ なので、$y = -\frac{3}{4}x + b$ とおきます。

点(8, 3)を通るので、$3 = -\frac{3}{4}(8) + b$

$3 = -6 + b$

$b = 9$

よって、$y = -\frac{3}{4}x + 9$ です。

1

0. (4) 1次関数 $y = ax + 12$ で、$x = 5$のとき$y = 2$である。$a$の値を求めなさい。

$2 = a(5) + 12$

$2 = 5a + 12$

$-10 = 5a$

$a = -2$

1

1. (5) 1次関数 $y = x + a$ で、$x$の変域が $-2 \leq x \leq 6$のとき、$y$の変域は $b \leq y \leq -1$である。$a$, $b$ の値を求めなさい。

$x = 6$ のとき、$y=-1$ なので、$-1=6+a$ より $a=-7$

$y = x-7$ であり、$x = -2$ のとき、$y = -2-7 = -9$。したがって、$b = -9$

1

2. (6) 1次関数 $y = ax + b$ で、$a<0$であり、$x$の変域が $-5 \leq x \leq 0$のとき、$y$の変域は $-1 \leq y \leq 9$である。$a$, $b$ の値を求めなさい。

$a<0$なので、$x=0$のとき、$y$は最大値9をとり、$x=-5$のとき、$y$は最小値$-1$をとる。

よって、$9 = a \cdot 0 + b$ より $b=9$

$-1 = a \cdot (-5) + 9$

$-1 = -5a + 9$

$-10 = -5a$

$a=2$

しかし$a<0$という条件に矛盾するので、問題の設定が間違っているか、問題文を読み間違えている可能性があります。ここでは $a=-2$ と仮定すると、$y=-2x+9$

この場合、

$x=0$ のとき $y=9$

$x=-5$のとき $y=-2(-5)+9 = 19$

したがって、この条件では $y$ の変域は $-1 \leq y \leq 9$ にはなりえない。

3. 最終的な答え

6. (1) $y = -\frac{2}{3}x + 2$

(2) $y = \frac{2}{3}x + 2$

(3) $y = \frac{2}{3}x - 2$

(4) $y = -\frac{2}{3}x$

(5) $y = -\frac{2}{3}x$

(6) $a = 1$

7. (1) $y = \frac{1}{3}x - 5$

(2) $y = -2x + 12$

(3) $y = -\frac{3}{4}x + 9$

(4) $a = -2$

(5) $a = -7$, $b = -9$

(6) 問題文に矛盾がある可能性があります。仮に$a=-2$とすると$y=-2x+9$だが、この場合、$x$の変域が $-5 \leq x \leq 0$のとき、$y$の変域は $-1 \leq y \leq 9$ とはならない。