$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を合成します。

$r \sin(\theta + \alpha) = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ となる $r$ と $\alpha$ を求めます。

$r \cos \alpha = 1$

$r \sin \alpha = \sqrt{3}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2 \cos^2 \alpha + r^2 \sin^2 \alpha = 1^2 + (\sqrt{3})^2$

$r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + 3$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より、$r = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

よって、

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

元の不等式は、$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < 1$ となり、

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$

ここで、$\theta + \frac{\pi}{3} = t$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{7\pi}{3}$

$\sin t < \frac{1}{2}$ を解きます。

$\sin t = \frac{1}{2}$ となる $t$ は、$t = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

よって、$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{13\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{3}$

$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ より、

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{13\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$

$0 \le \theta < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$ または $\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$

$0 \le \theta < \frac{3\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$