二重積分 $\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS$ を計算する問題です。積分領域 $D$ は $x \geq 0$, $y \geq 0$, $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$ で定義されています。つまり、領域 $D$ は第一象限における半径1と半径2の円の間にある部分です。

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS$ を計算する問題です。積分領域 $D$ は $x \geq 0$, $y \geq 0$, $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$ で定義されています。つまり、領域 $D$ は第一象限における半径1と半径2の円の間にある部分です。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、$dS = r \, dr \, d\theta$ です。

領域 $D$ は極座標で $1 \leq r \leq 2$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ と表されます。

したがって、積分は次のようになります。

$\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 \frac{r\cos\theta}{r^2} r \, dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 \cos\theta \, dr \, d\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_1^2 \cos\theta \, dr = \cos\theta \int_1^2 dr = \cos\theta [r]_1^2 = \cos\theta (2-1) = \cos\theta$

次に、$\theta$ について積分します。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \, d\theta = [\sin\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

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