次の重積分を極座標に変換して計算します。 $$\iint_D (x-y) dS$$ ここで、$D = \{(x,y) | x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 4\}$ です。

1. 問題の内容

次の重積分を極座標に変換して計算します。

$$\iint_D (x-y) dS$$

ここで、$D = \{(x,y) | x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 4\}$ です。

2. 解き方の手順

領域 $D$ は、中心が原点、半径が2の円の第1象限の部分です。

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

ヤコビアンは $r$ なので、$dS = r dr d\theta$ となります。

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2 + y^2 \leq 4$ より、

$0 \leq r \leq 2$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、重積分は次のように変換されます。

$$\iint_D (x-y) dS = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 (r\cos\theta - r\sin\theta) r dr d\theta$$

積分を計算します。

\begin{align*} \label{eq:1} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 (r^2\cos\theta - r^2\sin\theta) dr d\theta &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^3}{3} \cos\theta - \frac{r^3}{3} \sin\theta \right]_0^2 d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{8}{3} \cos\theta - \frac{8}{3} \sin\theta \right) d\theta \\ &= \frac{8}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta - \sin\theta) d\theta \\ &= \frac{8}{3} \left[ \sin\theta + \cos\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{8}{3} \left[ (\sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2}) - (\sin 0 + \cos 0) \right] \\ &= \frac{8}{3} \left[ (1 + 0) - (0 + 1) \right] \\ &= \frac{8}{3} (1 - 1) = 0 \end{align*}

3. 最終的な答え

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