神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $μ$ を推定するために、10名の学生をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均 $\bar{x} = 12.8$、標本分散 $s^2 = 18.4$ が得られた。このとき、$μ$ の95%信頼区間を求める。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

1. 問題の内容

神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $μ$ を推定するために、10名の学生をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均 $\bar{x} = 12.8$、標本分散 $s^2 = 18.4$ が得られた。このとき、$μ$ の95%信頼区間を求める。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

2. 解き方の手順

母分散が未知であるため、t分布を用いて信頼区間を推定する。

1. 自由度を計算する。

自由度 $df = n - 1 = 10 - 1 = 9$

2. 信頼水準 95% に対応する t 値を t分布表から求める。

$t_{α/2, df} = t_{0.025, 9} \approx 2.262$

3. 信頼区間の式に値を代入して計算する。信頼区間の式は以下の通り。

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

4. 下限の計算:

$12.8 - 2.262 \cdot \frac{\sqrt{18.4}}{\sqrt{10}} = 12.8 - 2.262 \cdot \frac{4.29}{3.16} = 12.8 - 2.262 \cdot 1.36 = 12.8 - 3.07632 \approx 9.72$

5. 上限の計算:

$12.8 + 2.262 \cdot \frac{\sqrt{18.4}}{\sqrt{10}} = 12.8 + 2.262 \cdot \frac{4.29}{3.16} = 12.8 + 2.262 \cdot 1.36 = 12.8 + 3.07632 \approx 15.88$

3. 最終的な答え

$μ$ の95%信頼区間は、(9.72, 15.88) である。