「KANAGAWA」の8文字を並べる場合の数を、以下の条件でそれぞれ求めます。 (1) 1列に並べるとき、異なる並べ方 (2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方 (3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方 (4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方 (5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

1. 問題の内容

「KANAGAWA」の8文字を並べる場合の数を、以下の条件でそれぞれ求めます。

(1) 1列に並べるとき、異なる並べ方

(2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方

(3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方

(4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方

(5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

2. 解き方の手順

(1) 1列に並べるとき、異なる並べ方

8文字の中にAが3つ、Nが2つあります。

したがって、総数は

$\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 3360$

(2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方

両端にAを固定すると、残りの文字は「KANGAWA」の6文字です。この中にAが1つ、Nが2つあります。

したがって、並べ方は

$\frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方

まず、A以外の文字K, N, G, W, Nを並べます。Nが2つあるので、その並べ方は

$\frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60$通り

次に、これらの5文字でできる6つの隙間（両端も含む）に、3つのAを並べます。これは$_6C_3$で計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、Aが隣り合わない並べ方は、$60 \times 20 = 1200$通り

(4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方

まず、8つの場所からK, N, G, Wが入る4つの場所を選びます。このとき、順番は固定されているので、$_8C_4$通りです。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

残りの4つの場所にはA, A, A, Nが入ります。この並べ方は$\frac{4!}{3!} = 4$通りです。

したがって、並べ方は、$70 \times 4 = 280$通り

(5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

まず、3つのAをまとめて1つのものと考えます。そうすると、K, N, G, W, N, AAAの6つのものを円形に並べることになります。

円形に並べる並べ方は$(6-1)! = 5!$です。

ただし、Nが2つあるので、$\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$通り

さらに、A,A,Aは順番を変えても同じなので、これは考慮する必要はありません。

したがって、円形に並べる方法は60通りです。

3. 最終的な答え

(1) 3360通り

(2) 360通り

(3) 1200通り

(4) 280通り

(5) 60通り