袋の中に1, 2, 3と書かれた白玉がそれぞれ1個ずつ、1, 2と書かれた黒玉がそれぞれ1個ずつ入っている。合計5個の玉が入った袋から同時に2個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 取り出した2個の玉に書かれている数の和が偶数になる確率。 (2) 取り出した2個の玉のうち、少なくとも1個は2と書かれている確率。

1. 問題の内容

袋の中に1, 2, 3と書かれた白玉がそれぞれ1個ずつ、1, 2と書かれた黒玉がそれぞれ1個ずつ入っている。合計5個の玉が入った袋から同時に2個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 取り出した2個の玉に書かれている数の和が偶数になる確率。

(2) 取り出した2個の玉のうち、少なくとも1個は2と書かれている確率。

2. 解き方の手順

(1)

まず、5個の玉から2個の玉を取り出す場合の総数を求める。これは組み合わせの問題なので、$_{5}C_{2}$で計算できる。

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

次に、取り出した2個の玉の数の和が偶数になる場合を考える。

和が偶数になるのは、2つとも偶数の場合か、2つとも奇数の場合である。

2つとも偶数の場合：2と書かれた白玉と2と書かれた黒玉の組み合わせのみなので1通り。

2つとも奇数の場合：1と書かれた白玉と1と書かれた黒玉、または1と書かれた白玉と3と書かれた白玉の組み合わせがあるので、$1+1=2$通り。

したがって、和が偶数になるのは$1+2 = 3$通り。

求める確率は$\frac{\text{和が偶数になる場合の数}}{\text{すべての組み合わせの数}} = \frac{3}{10}$。

(2)

少なくとも1個は2と書かれている確率を求める。これは、2個とも2と書かれていない確率を全体から引くことで計算できる。

全体の場合の数は$_{5}C_{2}=10$通り。

2個とも2でない玉を選ぶのは、1, 3と書かれた白玉と1と書かれた黒玉の3個の玉から2個を選ぶ場合である。

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

したがって、2個とも2でない確率$\frac{3}{10}$。

少なくとも1個は2である確率は$1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$。

もう一つの解き方としては，

少なくとも1個は2と書かれている組み合わせを直接数える方法もある。

2と書かれた白玉を含む組み合わせは：(2白, 1白), (2白, 3白), (2白, 1黒), (2白, 2黒)の4通り。

2と書かれた黒玉を含む組み合わせは：(2黒, 1白), (2黒, 3白), (2黒, 1黒)の3通り。

ただし、(2白, 2黒)の組み合わせは2回数えているので、1回引く必要がある。

しかし，(2白, 1白), (2白, 3白), (2白, 1黒), (2白, 2黒)

(2黒, 1白), (2黒, 3白), (2黒, 1黒) のうち，

(2白, 2黒)は数えているので，

(2黒, 1白)は，(2白, 1白)と数える順番が違うだけで同じ

(2黒, 3白)は，(2白, 3白)と数える順番が違うだけで同じ

(2黒, 1黒)は，(2白, 1黒)と数える順番が違うだけで同じ

よって，2が含まれる組み合わせは4通りなので，確率は$\frac{4}{10}$ではない．

少なくとも1個は2と書かれている組み合わせは：(2白, 1白), (2白, 3白), (2白, 1黒), (2白, 2黒), (2黒, 1白), (2黒, 3白), (2黒, 1黒)を考える．

2と書かれた白玉または黒玉が含まれていないのは、(1白, 3白), (1白, 1黒), (3白, 1黒)なので，その他は2が含まれる．

2が含まれるのは、$10 - 3 = 7$通りなので，確率は$\frac{7}{10}$となる．

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{10}$

(2) $\frac{7}{10}$