高校生5人、中学生4人の合計9人の生徒がいる。 (1) 9人から4人を選ぶときの選び方の総数を、以下の条件で求める。 ① 高校生2人、中学生2人を選ぶ。 ② 少なくとも1人は中学生を選ぶ。 ③ 高校生を2人以上選ぶ。 ④ ある特定の2人a, bがともに選ばれる。 (2) 9人をいくつかの組に分ける分け方の総数を、以下の条件で求める。 ① A, Bの2組に分ける（ただし、各組に1人以上入る）。 ② 4人、3人、2人の3組に分ける。 ③ 3人ずつの3組に分ける。 ④ 2人、2人、5人の3組に分ける。

1. 問題の内容

高校生5人、中学生4人の合計9人の生徒がいる。

(1) 9人から4人を選ぶときの選び方の総数を、以下の条件で求める。

① 高校生2人、中学生2人を選ぶ。

② 少なくとも1人は中学生を選ぶ。

③ 高校生を2人以上選ぶ。

④ ある特定の2人a, bがともに選ばれる。

(2) 9人をいくつかの組に分ける分け方の総数を、以下の条件で求める。

① A, Bの2組に分ける（ただし、各組に1人以上入る）。

② 4人、3人、2人の3組に分ける。

③ 3人ずつの3組に分ける。

④ 2人、2人、5人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1)

① 高校生2人、中学生2人を選ぶ方法は、高校生5人から2人を選ぶ方法と、中学生4人から2人を選ぶ方法の積で計算できる。組み合わせの公式を用いる。

$$_5C_2 \times _4C_2 = \frac{5!}{2!3!} \times \frac{4!}{2!2!} = 10 \times 6 = 60$$

② 少なくとも1人は中学生を選ぶ方法は、4人を選ぶ全ての場合の数から、4人全員が高校生である場合の数を引けばよい。

9人から4人を選ぶ方法は $_9C_4$ 通り。

$$_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$$

4人全員が高校生である場合は $_5C_4$ 通り。

$$_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$$

よって、少なくとも1人が中学生である選び方は $126 - 5 = 121$ 通り。

③ 高校生を2人以上選ぶ方法は、次の3つの場合に分けて考える。

* 高校生2人、中学生2人：これは①で求めた通り60通り。

* 高校生3人、中学生1人：$_5C_3 \times _4C_1 = \frac{5!}{3!2!} \times \frac{4!}{1!3!} = 10 \times 4 = 40$ 通り。

* 高校生4人、中学生0人：$_5C_4 \times _4C_0 = \frac{5!}{4!1!} \times 1 = 5 \times 1 = 5$ 通り。

したがって、合計は $60 + 40 + 5 = 105$ 通り。

④ 特定の2人a, bがともに選ばれる場合、残りの2人を選ぶ必要がある。

残りの2人は、残りの7人(9人からa, bを除いた人数)から選ぶので、$_7C_2$ 通り。

$$_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$

(2)

① A, Bの2組に分ける（ただし、各組に1人以上入る）。

9人からA組に入れる人を選ぶ。A組に1人以上8人以下の人数が入るように選ぶ。A組の人数が決まれば、B組の人数も決まる。

A組に1人入れる場合： $_9C_1$ 通り

A組に2人入れる場合： $_9C_2$ 通り

...

A組に8人入れる場合： $_9C_8$ 通り

合計すると $_9C_1 + _9C_2 + _9C_3 + _9C_4 + _9C_5 + _9C_6 + _9C_7 + _9C_8$ 通り

二項定理より、$(1+1)^9 = \sum_{k=0}^{9} {_9C_k} = _9C_0 + _9C_1 + ... + _9C_9 = 2^9 = 512$

求める場合の数は $2^9 - _9C_0 - _9C_9 = 512 - 1 - 1 = 510$ 通り。

しかしA,Bの区別はないので、$\frac{510}{2} = 255$は間違い。

別解：9人から1人Aに入れる場合から8人入れる場合を考える。

Aの組に入れる人数がn人のとき、残りの9-n人はBの組に入る。

組A,Bの区別があるので、$_9C_1 + _9C_2 + _9C_3 + _9C_4 + _9C_5 + _9C_6 + _9C_7 + _9C_8 = 510$ 通り

② 4人、3人、2人の3組に分ける。

9人から4人を選び、残りの5人から3人を選び、さらに残りの2人から2人を選ぶ。

$$_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$$

③ 3人ずつの3組に分ける。

9人から3人を選び、残りの6人から3人を選び、さらに残りの3人から3人を選ぶ。ただし、組の区別がないので3!で割る。

$$\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = \frac{1680}{6} = 280$$

④ 2人、2人、5人の3組に分ける。

9人から2人を選び、残りの7人から2人を選び、さらに残りの5人から5人を選ぶ。ただし、2人の組は区別がないので2!で割る。

$$\frac{_9C_2 \times _7C_2 \times _5C_5}{2!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{5!0!}}{2} = \frac{36 \times 21 \times 1}{2} = \frac{756}{2} = 378$$

3. 最終的な答え

(1)

① 60通り

② 121通り

③ 105通り

④ 21通り

(2)

① 510通り

② 1260通り

③ 280通り

④ 378通り