与えられた複数の数学の問題を解く。問題は、確率、約数の数、組み合わせ、円順列、長方形の数え上げ、整数解の個数など、多岐にわたる。

1. 問題の内容

与えられた複数の数学の問題を解く。問題は、確率、約数の数、組み合わせ、円順列、長方形の数え上げ、整数解の個数など、多岐にわたる。

2. 解き方の手順

(1) さいころの問題

* ① 出た目の和が6以下になる場合:

* 大小のサイコロの目を $(x, y)$ とすると、$x + y \leq 6$ を満たす組み合わせを数え上げる。

* $x = 1$ のとき、$y = 1, 2, 3, 4, 5$ の5通り

* $x = 2$ のとき、$y = 1, 2, 3, 4$ の4通り

* $x = 3$ のとき、$y = 1, 2, 3$ の3通り

* $x = 4$ のとき、$y = 1, 2$ の2通り

* $x = 5$ のとき、$y = 1$ の1通り

* 合計 $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ 通り

* ② 出た目の積が5の倍数になる場合:

* 少なくとも片方のサイコロの目が5である必要がある。

* 大きいサイコロが5のとき、小さいサイコロは1から6の6通り。

* 小さいサイコロが5のとき、大きいサイコロは1から6の6通り。

* 両方とも5のとき重複するので、それを除く。

* $6 + 6 - 1 = 11$ 通り

(2) 約数の個数の問題

* 504を素因数分解する: $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7^1$

* 約数の個数は、各素因数の指数に1を加えて掛け合わせたもの: $(3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 個

(3) じゃんけんの問題

* 4人がそれぞれグー、チョキ、パーのいずれかを出すので、各々3通りの出し方がある。

* したがって、$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ 通り

(4) 委員の選び方の問題

* ① 学級委員長と副委員長を1人ずつ選ぶ場合

* 学級委員長は20人から1人選ぶので20通り。

* 副委員長は残りの19人から1人選ぶので19通り。

* したがって、$20 \times 19 = 380$ 通り

* ② 学級委員3人を選ぶ場合

* 残りの18人から3人を選ぶ組み合わせなので、$_{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816$ 通り

(5) 4桁の整数の問題

* ① 異なる数字を用いて奇数を作る場合

* 一の位は1か3の2通り。

* 千の位は0以外なので、一の位で使った数以外から選ぶ。

* 一の位が1の場合、千の位は2, 3, 4のいずれかから選ぶ。 3通り。

* 一の位が3の場合、千の位は1, 2, 4のいずれかから選ぶ。 3通り。

* 百の位、十の位は残った数字から選ぶ。

* それぞれ異なる選び方。

* 計算が複雑になるので、直接数える。

* 千の位: 0以外(4通り)

* 一の位: 奇数(2通り)

* 百の位: 残り(3通り)

* 十の位: 残り(2通り)

* ただし、千の位が0の場合を除く。

* 千の位に0が来ない場合、$4 \times 3 \times 2 = 24$

* $3 \times 2 \times 3 \times 2 + 3 \times 2 \times 3 \times 2 = 36$

* ② 3300より大きい数を作る場合

* 千の位が3の場合: 百の位は3, 4。

* 千の位が4の場合: 百の位は0, 1, 2, 3, 4。

* それぞれの場合について、残りの2桁を埋める組み合わせを数える。

* 千の位が3の場合:

* 33XX, 34XX。XXは0,1,2,3,4から重複を許して選ぶ。

* 33XX: $5 \times 5 = 25$

* 34XX: $5 \times 5 = 25$

* 千の位が4の場合:

* 4XXX: $5 \times 5 \times 5 = 125$

* 合計: $25+25+125 = 175$

(6) 円順列の問題

* 7人が円卓に座る座り方は、$(7-1)! = 6! = 720$ 通り

(7) 長方形の数え上げの問題

* ① 長方形の個数

* 縦線を選ぶ組み合わせ: $_{5+1}C_2 = {}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

* 横線を選ぶ組み合わせ: $_{4+1}C_2 = {}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

* 長方形の総数: $15 \times 10 = 150$ 個

* ② 正方形の個数

* 1x1の正方形: $4 \times 5 = 20$

* 2x2の正方形: $3 \times 4 = 12$

* 3x3の正方形: $2 \times 3 = 6$

* 4x4の正方形: $1 \times 2 = 2$

* 合計: $20 + 12 + 6 + 2 = 40$ 個

(8) 腕輪の作り方の問題

* 10個から6個を選ぶのは$_{10}C_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$通り。

* 6個の球で輪を作るのは$(6-1)! = 5! = 120$通り。ただし、裏返しを考慮すると、$120/2 = 60$通り。

* よって、$210 \times 60 = 12600$通り。

* しかし、これは回転を考慮していない。回転を考慮すると、$(n-1)!/2$となるので、$5!/2 = 120/2 = 60$.

* 腕輪なので、裏返しにしても同じであることから、並べ方は $(6-1)!/2 = 5!/2 = 120/2 = 60$通り。

* 10個から6個を選ぶ組み合わせと、選んだ6個で腕輪を作る場合の数を掛けて、 $210 \times 60 = 12600$通り。

(9) 整数解の個数の問題

* $a+b+c+d=10$ を満たす非負整数解の個数は、仕切りを使って考える。

* 10個の玉を4つの箱に入れると考えればよいので、必要な仕切りは3つ。

* よって、10個の玉と3つの仕切りの並べ方を考える。

* $_{10+3}C_3 = {}_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$ 個

3. 最終的な答え

(1) ① 15通り, ② 11通り

(2) 24個

(3) 81通り

(4) ① 380通り, ② 816通り

(5) ① 36個, ② 175個

(6) 720通り

(7) ① 150個, ② 40個

(8) 12600通り

(9) 286個